สมัยก่อนประวัติศาสตร์ของตรรกศาสตร์ Valid reasoning has been employed in all periods of human history.
สมัยก่อนประวัติศาสตร์ของตรรกศาสตร์มี เหตุผลที่ถูกต้องมาจากการได้รับการว่าจ้างในระยะเวลาทั้งหมดของมนุษย์ในHowever, logic studies the principles of valid reasoning, inference and demonsประวัติศาสตร์ แต่ตรรกะเป็นการศึกษาหลักการของการอนุมานที่ถูกต้องให้เหตุผลและการสาธิต It is probable that the idea of demonstrating a conclusion first arose in connection with geometry , which originally meant the same as "land measurement". [ 3 ] In particular, the ancient Egyptians had empirically discovered some truths of geometry , such as the formula for the volume of a truncated pyramid . [ 4 ] มันน่าจะเป็นที่แสดงให้เห็นถึงความคิดในการสรุปครั้งแรกที่เกิดขึ้นในการเชื่อมต่อกับ รูปทรงเรขาคณิต ซึ่งเดิมหมายถึงเกี่ยวกับ"การวัดที่ดิน"โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ชาวอียิปต์โบราณ ได้ สังเกตุ การค้นพบ ความจริงบางส่วนของรูปทรงเรขาคณิต เช่นสูตรสำหรับ ปริมาณของที่ ปิรามิดที่ถูกตัดทอน Another origin can be seen in Babylonia แหล่งกำเนิดอื่นสามารถเห็นได้ใน Esagil-kin-apli's medical Diagnostic Handbook in the 11th century BC was based on a logical set of axioms and assumptions, [ 5 ] while Babylonian astronomers in the 8th and 7th centuries BC employed an internal logic within their predictive planetary systems, an important contribution to the philosophy of science . [ 6 ] คู่มือการวินิจฉัย Esagil - Kin - apli ทางการแพทย์ในศตวรรษที่ 11 ก็ขึ้นอยู่กับการตั้งค่าตรรกะของ สัจพจน์ และการตั้งสมมติฐาน ในขณะที่ นักดาราศาสตร์ชาวบาบิโลน ในศตวรรษที่ 8 และ 7 ลูกจ้าง BC ตรรกะภายในระบบของพวกเขาทำนายดาวเคราะห์บทบาทสำคัญ กับ ปรัชญาวิทยาศาสตร์ วิวัฒนาการของตรรกศาสตร์
ประวัติศาสตร์ของตรรกะคือการศึกษาการพัฒนาวิทยาศาสตร์ของการอนุมานที่ถูกต้อง ( ตรรกะ ) Formal logic was developed in ancient times in China , India , and Greece . ตรรกะที่เป็นทางการได้รับการพัฒนาในสมัยโบราณใน ประเทศจีน อินเดีย และ Greek logic, particularly Aristotelian logic , found wide application and acceptance in science and mathematics. ตรรกะกรีก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตรรกะ Aristotelian พบการประยุกต์กว้างและการยอมรับในวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์
Aristotle's logic was further developed by Islamic and Christian philosophers in the Middle Ages , reaching a high point in the mid-fourteenth century. ตรรกะของอริสโตเติลได้รับการพัฒนาต่อไปโดย อิสลาม และ คริสเตียน นักปรัชญาใน ยุคกลาง ถึงจุดสูงในช่วงกลางศตวรรษที่สิบสี่ และจุดเริ่มต้นของศตวรรษที่สิบเก้าเป็นส่วนใหญ่ มีอย่างใดอย่างหนึ่งที่เป็นช่วงของการลดลงและการละเลยและถือได้ว่าเป็นหมันโดยอย่างน้อยหนึ่งประวัติศาสตร์ของตรรกะ Logic was revived in the mid-nineteenth century, at the beginning of a revolutionary period when the subject developed into a rigorous and formalistic discipline whose exemplar was the exact method of proof used in mathematics .
ลอจิกได้ revived ในช่วงกลางศตวรรษที่สิบเก้า เป็นจุดเริ่มต้นของระยะเวลาการปฏิวัติเพื่อเริ่มพัฒนาไปสู่การมีระเบียบวินัยอย่างเข้มงวดและเป็นนิสัยเจ้าระเบียบที่มีแบบอย่างเป็นวิธีการที่แน่นอนของหลักฐานที่ใช้ใน คณิตศาสตร์ The development of the modern so-called "symbolic" or "mathematical" logic during this period is the most significant in the two-thousand-year history of logic, and is arguably one of the most important and remarkable events in human intellectual history. การพัฒนาที่ทันสมัยที่เรียกว่าตรรกะ"สัญลักษณ์"หรือ"คณิตศาสตร์"ในช่วงเวลานี้เป็นที่สำคัญที่สุดในประวัติศาสตร์สองพันปีของตรรกะและเป็น arguably หนึ่งในกิจกรรมที่สำคัญที่สุดและโดดเด่นที่สุดในประวัติศาสตร์ทางปัญญาของมนุษย์ Progress in mathematical logic in the first few decades of the twentieth century, particularly arising from the work of Gödel and Tarski , had a significant impact on analytic philosophy and philosophical logic , particularly from the 1950s onwards, in subjects such as modal logic , temporal logic , deontic logic , and relevance logic . ความคืบหน้าใน ตรรกะทางคณิตศาสตร์ ในไม่กี่ทศวรรษแรกของศตวรรษที่ยี่สิบโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เกิดขึ้นจากการทำงานของ Gödel และ Tarski มีผลกระทบอย่างมีนัยสำคัญเกี่ยวกับ ปรัชญาวิเคราะห์ และ ตรรกะทางปรัชญา โดยเฉพาะอย่างยิ่งจากปี 1950 เป็นต้นไปในสาขาวิชาเช่น ตรรกะกิริยา ตรรกะชั่วคราว ตรรกะ deontic และ ตรรกะที่เกี่ยวข้อง
Logic ในปรัชญากรีก
Logic ในปรัชญากรีก ได้รับการวิวัฒนาการเรื่อยมาอย่างเห็นได้ชัดเจนมี 4 สมัย คือ
1.ก่อนPlato
2.ตรรกะของเพลโต
3.ตรรกะของอริสโตเติล
4.ตรรกะ Stoic
ก่อน Plato
While the ancient Egyptians empirically discovered some truths of geometry, the great achievement of the ancient Greeks was to replace empirical methods by demonstrative science. The systematic study of this seems to have begun with the school of Pythagoras in the late sixth century BC.The three basic principles of geometry are that certain propositions must be accepted as true without demonstration, that all other propositions of the system are derived from these, and that the derivation must be formal , that is, independent of the particular subject matter in question.Fragments of early proofs are preserved in the works of Plato and Aristotle, and the idea of a deductive system was probably known in the Pythagorean school and the Platonic Academy . ในขณะที่ชาวอียิปต์โบราณค้นพบความจริงและสังเกตุบางส่วนของรูปทรงเรขาคณิตที่ผลสัมฤทธิ์ที่ดีของชาวกรีกโบราณคือการแทนที่วิธีการทดลองทางวิทยาศาสตร์เป็นการสาธิต การศึกษาระบบการนี้ดูเหมือนว่าจะได้เริ่มต้นกับโรงเรียนของ พีธากอรัส ในช่วงปลายศตวรรษที่หก สามหลักการพื้นฐานของรูปทรงเรขาคณิตที่ว่าข้อเสนอบางอย่างต้องยอมรับว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องสาธิตว่าทุกข้อเสนออื่น ๆ ของระบบจะได้มาจากที่ใดและที่รับมาจะต้องมีความเป็นทางการที่เป็นอิสระจากเรื่องโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ไม่ว่าในคำถาม เศษของหลักฐานอันแรกจะถูกเก็บไว้ในงานของเพลโตและอริสโตเติล และความคิดของระบบ deductive ที่เป็นที่รู้จักอาจอยู่ในโรงเรียนที่พีทาโกรัสและ สถาบันสงบ
Separately from geometry, the idea of a standard argument pattern is found in the Reductio ad absurdum used by Zeno of Elea , a pre-Socratic philosopher of the fifth century BC. แยกต่างหากจากรูปทรงเรขาคณิตรูปแบบความคิดของอาร์กิวเมนต์ที่มีมาตรฐานเป็นที่พบใน absurdum โฆษณา Reductio ใช้โดย Zeno ของ Elea , Pre - โสกราตีส นักปรัชญาของศตวรรษที่ห้าก่อนคริสตกาล This is the technique of drawing an obviously false, absurd or impossible conclusion from an assumption, thus demonstrating that the assumption is false. Plato's Parmenides portrays Zeno as claiming to have written a book defending the monism of Parmenides by demonstrating the absurd consequence of assuming that there is plurality. นี้เป็นเทคนิคของการวาดภาพเท็จเห็นได้ชัดว่าข้อสรุปที่ไร้สาระหรือไม่จากการสันนิษฐานจึงแสดงให้เห็นว่าสมมติฐานเป็นเท็จ Plato's Parmenides portrays Zeno เป็นที่อ้างว่าได้เขียนหนังสือป้องกัน ลัทธิมอนิสม ของ Parmenides โดยแสดงให้เห็นถึงผลที่ตามมาบ้าบอคอแตก จากสมมติว่ามีจำนวนมาก และOther philosophers who practised such dialectic reasoning were the so-called minor Socratics, including Euclid of Megara , who were probably followers of Parmenides and Zeno. นักปรัชญาคนอื่น ๆ ที่เกี่ยวกับการจาระไนเหตุผลและเหตุผลดังกล่าวได้รับการฝึกฝนที่เรียกว่า Socratics เล็กน้อยรวมทั้ง Euclid ของ Megara ผู้ที่ได้จากลูกศิษย์ของ Parmenides และ Zeno The members of this school were called "dialecticians" (from a Greek word meaning "to discuss"). สมาชิกของโรงเรียนแห่งนี้ถูกเรียกว่า"dialecticians"(จากความหมายของคำภาษากรีก"เพื่อหารือ")
Further evidence that pre-Aristotelian thinkers were concerned with the principles of reasoning is found in the fragment called Dissoi Logoi , probably written at the beginning of the fourth century BC. หลักฐานเพิ่มเติมว่านักคิดล่วงหน้า Aristotelian มีความกังวลเกี่ยวกับหลักการของเหตุผลเป็นที่พบในส่วนที่เรียกว่า Dissoi Logoi อาจเขียนที่จุดเริ่มต้นของศตวรรษที่สี่ This is part of a protracted debate about truth and falsity. นี้เป็นส่วนหนึ่งของการอภิปรายยืดเยื้อเกี่ยวกับความจริงและความผิดพลาด
เพลโตเป็นนักปรัชญาชาวกรีกโบราณที่มีอธิพลอย่างสูงต่อตรรกะแนวคิดตะวันตก เขาเป็นลูกศิษย์ของโสกราติส เป็นอาจารย์ของอริสโตเติล เป็นนักเขียน และเป็นนักก่อตั้งอาคาเดมีซึ่งเป็นสำนักวิชาในกรุงเอเธนส์None of the surviving works of the great fourth-century philosopher Plato (428–347) include any formal logic, but they include important contributions to the field of philosophical logic .ไม่มีผลงานที่รอดตายจากการที่ดีในสี่ศตวรรษที่นักปรัชญา เพลโต (347-428) รวมถึงตรรกะที่เป็นทางการ แต่พวกเขามีส่วนร่วมสำคัญในเขตข้อมูลของ ตรรกะปรัชญา Plato raises three questions: Plato ยกสามคำถาม :
-What is it that can properly be called true or false? มันคืออะไรที่สามารถจะเรียกว่าถูกต้องจริงหรือเท็จ?
What is the nature of the connection between the assumptions of a valid argument and its conclusion? -ลักษณะของการเชื่อมต่อระหว่างสมมติฐานของอาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้องและมีผลสรุปต่อคืออะไร?
What is the nature of definition? -ธรรมชาติของความหมายคืออะไร?
The first question arises in the dialogue Theaetetus , where Plato identifies thought or opinion with talk or discourse ( logos ). The second question is a result of Plato's theory of Forms . คำถามแรกที่เกิดขึ้นในการสนทนา Theaetetus ที่เพลโตระบุความคิดหรือความเห็นเกี่ยวกับการพูดคุยหรือวาทกรรม (โลโก้) คำถามที่สองเป็นผลมาจากเพลโตเป็น ทฤษฎีของรูปแบบ Forms are not things in the ordinary sense, nor strictly ideas in the mind, but they correspond to what philosophers later called universals , namely an abstract entity common to each set of things that have the same name. รูปแบบไม่สนใจในความรู้สึกธรรมดาที่ไม่คิดอย่างเคร่งครัดในใจ แต่พวกเขาจะสอดคล้องกับสิ่งที่นักปรัชญาภายหลังเรียกว่า universals คือนิติบุคคลที่เป็นนามธรรมทั่วไปในการตั้งค่าของสิ่งที่มีชื่อเดียวกันในแต่ละ In both The Republic and The Sophist , Plato suggests that the necessary connection between the premisses and the conclusion of an argument corresponds to a necessary connection between "forms". The third question is about definition . ทั้งใน สาธารณรัฐ และ Sophist Plato ชี้ให้เห็นว่าการเชื่อมต่อที่จำเป็นระหว่าง premisses และบทสรุปของอาร์กิวเมนต์ที่สอดคล้องกับการเชื่อมต่อที่จำเป็นระหว่าง"แบบฟอร์ม" คำถามที่สามเป็นเรื่องเกี่ยวกับ ความหมาย Many of Plato's dialogues concern the search for a definition of some important concept (justice, truth, the Good), and it is likely that Plato was impressed by the importance of definition in mathematics. What underlies every definition is a Platonic Form, the common nature present in different particular things. หลายบทสนทนาของเพลโตเกี่ยวกับการค้นหาความหมายของแนวคิดที่สำคัญบางคน (ความยุติธรรมความจริงที่ดี) และมีแนวโน้มว่า Plato ได้ประทับใจความสำคัญของความหมายในวิชาคณิตศาสตร์ อะไรรองรับทุกความหมายเป็นรูปแบบที่สงบ ปัจจุบันธรรมชาติที่พบในสิ่งที่แตกต่างกันโดยเฉพาะอย่างยิ่ง Thus a definition reflects the ultimate object of our understanding, and is the foundation of all valid inference. ดังนั้นความหมายสะท้อนให้เห็นถึงวัตถุที่ดีที่สุดของความเข้าใจของเราและเป็นรากฐานของการอนุมานที่ถูกต้องทั้งหมด This had a great influence on Aristotle, in particular Aristotle's notion of the essence of a thing, the "what it is to be" a particular thing of a certain kind. นี้มีอิทธิพลมากในอริสโตเติลในความคิดโดยเฉพาะอย่างยิ่งอริสโตเติลของ สาระสำคัญ ของสิ่งที่"มันคือสิ่งที่จะต้อง"เป็นสิ่งที่เฉพาะเจาะจงของบางชนิด
ตรรกศาสตร์ (หรือตรรกวิทยา) (Logic) คือวิชาที่ศึกษา เพื่อแยกการให้เหตุผลที่สมเหตุสมผล ออกจากการให้เหตุผลที่ไม่สมเหตุสมผล นักปราชญ์ซึ่งเรายอมรับว่าเป็นบิดาของวิชาตรรกศาสตร์ คือ อริสโตเติล (Aristotle, 322–384 ก่อนคริสตศักราช) โดยอริสโตเติล เชื่อว่ามนุษย์เท่านั้นที่สามารถคิดเกี่ยวกับเหตุและผลได้ ท่านได้เขียนตำราชื่อ Organum ซึ่งเกี่ยวกับการให้เหตุผลที่ถูกต้อง หลักการของหนังสือเล่มนี้กลายมาเป็นหลักการของตรรกศาสตร์เชิงอนุมาน (Deductive Logic) ปัจจุบัน
ตรรกะของ อริสโตเติล และโดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีของเขาใน การอ้างเหตุผล ได้มีอิทธิพลอย่างมากในการคิดว่าเวสเทิร์ ทำงานทางตรรกะของพระองค์ที่เรียกว่า ออร์กานอน มีการศึกษาอย่างเป็นทางการเร็วของตรรกะที่มีลงมาให้ครั้งที่ทันสมัย Though it is difficult to determine the dates, the probable order of writing of Aristotle's logical works is: แม้ว่ามันจะยากที่จะกำหนดวันที่ลำดับที่น่าจะเป็นของการเขียนผลงานของตรรกะของอริสโตเติลคือ
•The Categories , a study of the ten kinds of primitive term. หมวดหมู่ การศึกษาของสิบชนิดของระยะดั้งเดิม The Topics (with an appendix called On Sophistical Refutations ), a discussion of dialectics. •หัวข้อที่ (พร้อมด้วยภาคผนวกที่เรียกว่า เกี่ยวกับ Refutations Sophistical )การสนทนาของวิภาษวิธี On Interpretation , an analysis of simple categorical propositions , into simple terms, negation, and signs of quantity; and a comprehensive treatment of the notions of opposition and conversion. •ในการตีความ , การวิเคราะห์ของง่าย ข้อเสนอเด็ดขาด ลงไปในแง่ง่ายๆ, ลบ และสัญญาณของปริมาณและการรักษาที่ครอบคลุมของ notions ของ ฝ่ายค้าน และการแปลง •The Prior Analytics , a formal analysis of valid argument or "syllogism".ของ Analytics ก่อน การวิเคราะห์อย่างเป็นทางการของอาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้องหรือ"การอ้างเหตุผล" The Posterior Analytics , a study of scientific demonstration, containing Aristotle's mature views on logic. •วิเคราะห์หลัง การศึกษาของการสาธิตทางวิทยาศาสตร์ที่มีมุมมองที่เป็นผู้ใหญ่อริสโตเติลกับตรรกะ These works are of outstanding importance in the history of logic. ผลงานเหล่านี้มีความสำคัญโดดเด่นในประวัติศาสตร์ของตรรกะ Aristotle was the first logician to attempt a systematic analysis of logical syntax , into noun (or term ), and verb. อริสโตเติลเป็นนักตรรกวิทยาแรกที่พยายามวิเคราะห์ระบบของ ไวยากรณ์ตรรกะ ลงนาม (หรือ ยาว ) และคำกริยา In the Categories , he attempted to classify all the possible things that a term can refer to. ในประเภทที่เขาพยายามที่จะจัดทุกสิ่งที่เป็นไปได้ว่าในระยะสามารถอ้างถึง This idea underpins his philosophical work, the Metaphysics , which also had a profound influence on Western thought. ความคิดนี้ underpins งานปรัชญาของเขา อภิปรัชญา ซึ่งยังมีอิทธิพลลึกซึ้งในความคิดตะวันตก He was the first to deal with the principles of contradiction and excluded middle in a systematic way. เขาเป็นคนแรกที่จะจัดการกับหลักการของ ความขัดแย้ง และ กลางไม่รวม อย่างเป็นระบบ He was the first formal logician (ie he gave the principles of reasoning using variables to show the underlying logical form of arguments). เขาเป็นนักตรรกวิทยาอย่างเป็นทางการครั้งแรก (เช่นที่เขาได้ให้หลักการของเหตุผลการใช้ตัวแปรในการแสดงที่อยู่ภายใต้ รูปแบบตรรกะ ของอาร์กิวเมนต์) He was looking for relations of dependence which characterise necessary inference, and distinguished the validity of these relations, from the truth of the premises (the soundness of the argument). เขากำลังมองหาสำหรับความสัมพันธ์ของการพึ่งพาซึ่งลักษณะของการอนุมานที่จำเป็นและแตกต่าง ความถูกต้อง ของความสัมพันธ์เหล่านี้จากความจริงของสถานที่ (ที่ ความสมบูรณ์ ของอาร์กิวเมนต์) The Prior Analytics contains his exposition of the "syllogistic", where three important principles are applied for the first time in history: the use of variables, a purely formal treatment, and the use of an axiomatic system. Analytics ที่มีการแสดงออกก่อนของ"syllogistic"ของเขาที่สามหลักการสำคัญที่จะนำมาใช้เป็นครั้งแรกในประวัติศาสตร์ : การใช้ตัวแปร การรักษาอย่างเป็นทางการหมดจดและใช้งานของระบบซึ่งเป็นจริง In the Topics and Sophistical Refutations he also developed a theory of non-formal logic (eg the theory of fallacies). [ 16 ] ในหัวข้อและ Refutations Sophistical นอกจากนี้เขายังได้พัฒนาทฤษฎีของตรรกะไม่เป็นทางการ (เช่นทฤษฎีของความล้มเหลว) ตรรกะ Stoic
ตรรกะ Stoic ร่องรอยรากของมันกลับไปที่นักปรัชญาปลายศตวรรษที่ 5 BC, Euclid ของ Megara นักเรียนของ โสกราตีส และร่วมสมัยเพียงเล็กน้อยของ Plato His pupils and successors were called " Megarians ", or "Eristics", and later the "Dialecticians". นักเรียนและผู้สืบทอดของเขาถูกเรียกว่า" Megarians "หรือ"Eristics"และภายหลัง"Dialecticians" The two most important dialecticians of the Megarian school were Diodorus Cronus and Philo who were active in the late 4th century BC. ทั้งสอง dialecticians ที่สำคัญที่สุดของโรงเรียน Megarian ถูก Diodorus Cronus และ Philo ที่ถูกใช้งานในช่วงปลายศตวรรษที่ 4 The Stoics adopted the Megarian logic and systemized it. Stoics ที่นำตรรกะ Megarian และ systemized มัน The most important member of the school was Chrysippus (c. 278–c. 206 BC), who was its third head, and who formalized much of Stoic doctrine. สมาชิกที่สำคัญที่สุดของโรงเรียนได้ Chrysippus (c. 206 - C. 278 BC) ผู้เป็นหัวหน้าที่สามของตนและผู้ที่เป็นทางการมากของหลักคำสอน Stoic He is supposed to have written over 700 works, almost none of which survive. Unlike with Aristotle, we have no complete works by the Megarians or the early Stoics, and have to rely on accounts (sometimes hostile) by Sextus Empiricus , writing in the 3rd century AD. เขาควรจะมีการเขียนมากกว่า 700 การทำงานแทบไม่มีที่รอด แตกต่างกับอริสโตเติลเราได้ทำงานที่สมบูรณ์โดยไม่มี Megarians หรือ Stoics ต้นและจะต้องพึ่งพาบัญชี (เป็นมิตรบางครั้ง) โดย Sextus Empiricus , การเขียนในศตวรรษที่ 3 Three significant contributions of the Stoic school were (i) their account of modality , (ii) their theory of the Material conditional , and (iii) their account of meaning and truth .
มีส่วนร่วมสำคัญของโรงเรียนที่ถูก Stoic (i) การบัญชีของพวกเขา กิริยา (ii) ทฤษฎีของพวกเขาใน วัสดุตามเงื่อนไข และ (iii) บัญชีของพวกเขา ความหมาย และ ความจริง Chrysippus of Soli • การเป็นกิริยาช่วย According to Aristotle, the Megarians of his day claimed there was no distinction between potentiality and actuality . Diodorus Cronus defined the possible as that which either is or will be, the impossible as what will not be true, and the contingent as that which either is already, or will be false. Diodorus is also famous for his so-called Master argument , that the three propositions "everything that is past is true and necessary", "the impossible does not follow from the possible", and "What neither is nor will be is possible" are inconsistent. ตามที่อริสโตเติล Megarians ของวันที่เขาอ้างว่ามีความแตกต่างระหว่างไม่มี ศักยภาพ และ ความเป็นจริง Diodorus Cronus ที่เป็นไปได้ที่กำหนดไว้เป็นที่ซึ่งทั้งสองเป็นหรือจะเป็นที่เป็นไปไม่ได้เป็นสิ่งที่จะไม่จริงและผูกพันเป็นที่ ซึ่งอาจมีอยู่แล้วหรือจะเป็นเท็จ Diodorus ยังมีชื่อเสียงสำหรับเขาที่เรียกว่า อาร์กิวเมนต์ปริญญาโท ที่สามประพจน์"ทุกอย่างที่เป็นอดีตเป็นจริงและจำเป็น" "เป็นไปไม่ได้ที่ไม่เป็นไปตามที่เป็นไปได้" และ"อะไรไม่เป็นหรือจะเป็นไปได้"จะไม่สอดคล้องกัน Diodorus used the plausibility of the first two to prove that nothing is possible if it neither is nor will be true. Chrysippus, by contrast, denied the second premiss and said that the impossible could follow from the possible. Diodorus ใช้ความน่าเชื่อถือของสองคนแรกที่จะพิสูจน์ว่าไม่มีอะไรที่เป็นไปได้ถ้ามันไม่เป็นหรือจะเป็นจริง Chrysippus โดยคมชัดปฏิเสธ premiss ที่สองและกล่าวว่าเป็นไปไม่ได้ที่อาจตามมาจากที่เป็นไปได้
• งบเงื่อนไข The first logicians to debate conditional statements were Diodorus and his pupil Philo of Megara. logicians แรกเพื่ออภิปราย งบเงื่อนไข ถูก Diodorus และนักเรียนของเขา Philo Megara Sextus Empiricus refers three times to a debate between Diodorus and Philo. Sextus Empiricus หมายถึงสามครั้งเพื่ออภิปรายระหว่าง Diodorus และ Philo Philo argued that a true conditional is one that does not begin with a truth and end with a falsehood. Philo ถกเถียงกันอยู่ว่าเป็นจริงตามเงื่อนไขที่เป็นหนึ่งที่ไม่ได้เริ่มต้นด้วยความจริงและจบด้วยความเท็จ such as "if it is day, then I am talking". เช่น"ถ้ามันเป็นวันนั้นผมพูดถึง" But Diodorus argued that a true conditional is what could not possibly begin with a truth and end with falsehood – thus the conditional quoted above could be false if it were day and I became silent. แต่ Diodorus ถกเถียงกันอยู่ว่าเป็นจริงตามเงื่อนไขที่เป็นสิ่งที่ไม่อาจเริ่มต้นด้วยความจริงและจบลงด้วยความเท็จ - จึงตามเงื่อนไขที่ยกมาข้างต้นอาจจะเป็นเท็จถ้าเป็นวันและฉันกลายเป็นเงียบ Philo's criterion of truth is what would now be called a truth-functional definition of "if ... then". Philo เกณฑ์ของความจริงเป็นสิ่งที่จะถูกเรียกว่า ความจริงการทำงาน ความหมายของ"ถ้า ... แล้ว" In a second reference, Sextus says "According to him there are three ways in which a conditional may be true, and one in which it may be false." ในการอ้างอิงสอง Sextus กล่าวว่า"ตามที่เขามีสามวิธีในเงื่อนไขที่อาจเป็นจริงและเป็นหนึ่งในสิ่งที่มันอาจจะเป็นเท็จ"
• ความหมายและความจริง The most important and striking difference between Megarian-Stoic logic and Aristotelian logic is that it concerns propositions, not terms, and is thus closer to modern propositional logic . The Stoics distinguished between utterance ( phone ) , which may be noise, speech ( lexis ), which is articulate but which may be meaningless, and discourse ( logos ), which is meaningful utterance. ความแตกต่างที่สำคัญที่สุดและโดดเด่นระหว่างตรรกะ Megarian - Stoic และตรรกะ Aristotelian คือว่ามันกังวลเกี่ยวกับข้อเสนอที่ไม่ข้อตกลงและจึงเป็นที่ทันสมัยที่ใกล้ชิดกับ ตรรกะประพจน์ Stoics ที่แตกต่างระหว่างการเปล่งเสียง (โทรศัพท์) ซึ่งอาจจะเป็นเสียงพูด (lexis) ซึ่งเป็นปล้อง แต่อาจจะเป็นความหมายและวาทกรรม (โลโก้) ซึ่งเป็นคำพูดที่มีความหมาย The most original part of their theory is the idea that what is expressed by a sentence, called a lekton , is something real. ส่วนที่เดิมมากที่สุดของทฤษฎีของพวกเขาคือความคิดที่ว่าสิ่งที่จะแสดงโดยประโยคที่เรียกว่า lekton เป็นสิ่งที่จริง This corresponds to what is now called a proposition . นี้จะสอดคล้องกับสิ่งที่เรียกว่าตอนนี้เรื่อง Sextus says that according to the Stoics, three things are linked together, that which is signified, that which signifies, and the object. Sextus กล่าวว่าตามที่ Stoics สามสิ่งที่มีความเชื่อมโยงกัน
Aristotle's logic was still influential in the Renaissance ลอจิกในเอเชีย ลอจิกในเอเชียจะได้รับการกล่าวถึงลอจิกใน 2 ประเทศที่ได้รับการวิวัฒนาการอย่างเห็นได้ชัดเจน คือ
1.ลอจิกประเทศอินเดีย
2.ลอจิกในประเทศจีน
ลอจิกในประเทศอินเดีย
ตรรกะที่เป็นทางการเริ่มขึ้นอย่างอิสระใน อินเดียโบราณ และยังคงพัฒนาไปจนถึงยุคต้นไม่มีอิทธิพลใด ๆ จากตรรกะกรีก Medhatithi ก่อตั้งขึ้นที่โรงเรียน anviksiki ของตรรกะ มหาภารตะ รอบคริสตศักราชศตวรรษที่ 5 หมายถึงโรงเรียนที่ anviksiki และ Tarka ของตรรกะ Panini การพัฒนารูปแบบของตรรกะ (ที่ ตรรกะบูลีน มีความคล้ายคลึงกันบางส่วน) สำหรับการกำหนดของเขา ไวยากรณ์ภาษาสันสกฤต Logic is described by Chanakya (c. 350-283 BCE) in his Arthashastra as an independent field of inquiry anviksiki . ลอจิกอธิบายโดย Chanakya (c. 350-283 คริสตศักราช) ในเขา Arthashastra เป็นเขตข้อมูลที่เป็นอิสระของการสอบสวน anviksiki
Two of the six Indian schools of thought deal with logic: Nyaya and Vaisheshika . สองในหกของโรงเรียนของอินเดียคิดว่าจัดการกับตรรกะ : Nyaya และ Vaisheshika The Nyaya Sutras of Aksapada Gautama (c. 2nd century CE) constitute the core texts of the Nyaya school, one of the six orthodox schools of Hindu philosophy. สูตร Nyaya จาก Aksapada เป็นตำราหลักของ Nyaya โรงเรียนหนึ่งในหกของโรงเรียนดั้งเดิมของ ชาวฮินดู ปรัชญา This realist school developed a rigid five-member schema of inference involving an initial premise, a reason, an example, an application and a conclusion. The idealist Buddhist philosophy became the chief opponent to the Naiyayikas. Nagarjuna (c. 150-250 CE), the founder of the Madhyamika ("Middle Way") developed an analysis known as the catuskoti (Sanskrit). นี้ ความจริง โรงเรียนพัฒนา schema ที่ห้าสมาชิกแข็งของ การอนุมาน ที่เกี่ยวข้องกับสถานที่เริ่มต้นด้วยเหตุผล ตัวอย่างใบสมัครและข้อสรุป นักอุดมคติ พุทธปรัชญา ฝ่ายตรงข้ามกลายเป็นหัวหน้าของ Naiyayikas Nagarjuna ผู้ก่อตั้งของ Madhyamika ("ทางสายกลาง") การวิเคราะห์การพัฒนาที่รู้จักกันเป็น catuskoti (ภาษาสันสกฤต) This four-cornered argumentation systematically examined and rejected the affirmation of a proposition, its denial, the joint affirmation and denial, and finally, the rejection of its affirmation and denial. การโต้แย้งนี้สี่มุมมีระบบการตรวจสอบและยืนยันการปฏิเสธข้อเสนอของการปฏิเสธของมันที่ยืนยันร่วมกันและการปฏิเสธและสุดท้ายการปฏิเสธของการยืนยันและการปฏิเสธของ But it was with Dignaga (c 480-540 CE), who developed a formal syllogistic, and his successor Dharmakirti that Buddhist logic reached its height. แต่มันก็มี Dignaga (c 480-540 CE) ผู้พัฒนา syllogistic อย่างเป็นทางการ และผู้สืบทอดของเขา Dharmakirti ที่ พุทธตรรกะ ถึงความสูงของ Their analysis centered on the definition of necessary logical entailment , "vyapti", also known as invariable concomitance or pervasion. To this end a doctrine known as "apoha" or differentiation was developed. This involved what might be called inclusion and exclusion of defining properties. การวิเคราะห์ของพวกเขาเป็นศูนย์กลางในความหมายของตรรกะที่จำเป็นในการ entailment "vyapti"ยังเป็นที่รู้จัก concomitance สม่ำเสมอหรือ pervasion ด้วยเหตุนี้คำสอนที่เรียกว่า"apoha"หรือความแตกต่างได้รับการพัฒนา นี้เกี่ยวข้องกับสิ่งที่อาจจะเรียกว่า การรวมและการยกเว้นการกำหนดคุณสมบัติ
The difficulties involved in this enterprise, in part, stimulated the neo-scholastic school of Navya-Nyāya , which developed a formal analysis of inference in the sixteenth century. ปัญหาที่เกี่ยวข้องในองค์กรนี้ในส่วนการกระตุ้นโรงเรียนมีโอกาสศึกษาจาก Navya - Nyaya ซึ่งการพัฒนามีการวิเคราะห์อย่างเป็นทางการของการอนุมานในศตวรรษที่สิบหก This later school began around eastern India and Bengal , and developed theories resembling modern logic, such as Gottlob Frege 's "distinction between sense and reference of proper names" and his "definition of number," as well as the Navya-Nyaya theory of "restrictive conditions for universals" anticipating some of the developments in modern set theory . Since 1824, Indian logic attracted the attention of many Western scholars, and has had an influence on important 19th-century logicians such as Charles Babbage , Augustus De Morgan , and particularly George Boole , as confirmed by his wife Mary Everest Boole who wrote in an "open letter to Dr Bose" titled "Indian Thought and Western Science in the Nineteenth Century" written in 1901 : "Think what must have been the effect of the intense Hinduizing of three such men as Babbage, De Morgan and George Boole on the mathematical atmosphere of 1830-1865" โรงเรียนภายหลังเริ่มรอบ อินเดียตะวันออก และ เบงกอล และพัฒนาทฤษฎีที่คล้ายตรรกะที่ทันสมัยเช่น Gottlob Frege 's"ความแตกต่างระหว่างความรู้สึกและการอ้างอิงของชื่อที่เหมาะสม"และ"ความหมายของจำนวน"ของเขาเช่นเดียวกับทฤษฎี Navya - Nyaya ของ "เงื่อนไขข้อจำกัด สำหรับ universals"การคาดการณ์บางอย่างของการพัฒนาที่ทันสมัยใน การตั้งทฤษฎี . ตั้งแต่ 1824, ตรรกะอินเดียดึงดูดความสนใจของนักวิชาการตะวันตกจำนวนมากและมีอิทธิพลต่อ logicians ศตวรรษที่ 19 ที่สำคัญเช่น Charles Babbage , Augustus De มอร์แกน และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง จอร์จ Boole การยืนยันโดยภรรยาของเขา เอเวอร์เรสแมรี Boole ผู้เขียนใน"จดหมายเปิด ดร. Bose"ที่ชื่อ"คิดว่าอินเดียและวิทยาศาสตร์ตะวันตกในศตวรรษที่สิบเก้า"ที่เขียนในปี 1901 :"คิดว่า สิ่งที่จะต้องได้รับผลกระทบจากการ Hinduizing รุนแรงของชายสามคนเช่น Babbage De มอร์แกนและจอร์จ Boole ในบรรยากาศทางคณิตศาสตร์ของ ปี1830-1865"
ลอจิกในประเทศจีน
ในประเทศจีนร่วมสมัยของ ขงจื้อ Mozi "โทโม" เป็นผู้ให้การก่อตั้ง โรงเรียน Mohist ที่มี Canons จัดการกับปัญหาเกี่ยวกับการอนุมานที่ถูกต้องและเงื่อนไขของข้อสรุปที่ถูกต้อง In particular, one of the schools that grew out of Mohism, the Logicians , are credited by some scholars for their early investigation of formal logic . โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นหนึ่งในโรงเรียนที่ขยายตัวออกจาก Mohism ที่ logicians เป็นเครดิตโดยนักวิชาการบางคนสำหรับการตรวจสอบในช่วงต้นของ ตรรกะที่เป็นทางการ Unfortunately, due to the harsh rule of Legalism in the subsequent Qin Dynasty , this line of investigation disappeared in China until the introduction of Indian philosophy by Buddhists . แต่เนื่องจากกฎที่รุนแรงของ การยึดถือกฎ ในภายหลัง ราชวงศ์ฉินได้หายไปในประเทศจีนจนได้รับการแนะนำของปรัชญาอินเดีย
ตรรกะในยุคกลาง
ลอจิกในยุคกลางจะได้รับการกล่าวถึงลอจิกใน 2 แบบ ที่ได้รับการวิวัฒนาการอย่างเห็นได้ชัดเจน คือ
1.ลอจิกในปรัชญาอิสลาม
2.ลอจิกในยุคกลางยุโรป
ลอจิกในปรัชญาอิสลาม
การทำงานของ Al - Farabi , Avicenna , Al - Ghazali , Averroes และ logicians มุสลิมอื่น ๆ ทั้งการวิพากษ์วิจารณ์และการพัฒนาตรรกะ Aristotelian และมีความสำคัญในการสื่อสารความคิดของโลกยุคโบราณที่ยุคกลางเวสต์ Al - Farabi (Alfarabi) ( 873-950) เป็นนักตรรกวิทยา Aristotelian ที่กล่าวถึงหัวข้อของ กระบวนในอนาคต จำนวนและความสัมพันธ์ของประเภทของความสัมพันธ์ระหว่าง ตรรกะ และ ไวยากรณ์ และรูปแบบที่ไม่ใช่ Aristotelian จาก การอนุมาน Al - Farabi ยังถือว่าเป็นทฤษฎีของ syllogisms ตามเงื่อนไข และ การอนุมานเปรียบเทียบ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของ Stoic ประเพณีของตรรกะมากกว่า Aristotelian
Ibn Sina (Avicenna) (980–1037) was the founder of Avicennian logic , which replaced Aristotelian logic as the domininant system of logic in the Islamic world, [ 40 ] and also had an important influence on Western medieval writers such as Albertus Magnus . [ 41 ] Avicenna wrote on the hypothetical syllogism [ 42 ] and on the propositional calculus , which were both part of the Stoic logical tradition. [ 43 ] He developed an original theory of “ temporally modalized ” syllogistic [ 38 ] and made use of inductive logic , such as the methods of agreement, difference and concomitant variation which are critical to the scientific method . [ 42 ] One of Avicenna's ideas had a particularly important influence on Western logicians such as William of Ockham .Ibn Sina (Avicenna) (980-1037) เป็นผู้ก่อตั้งของ ตรรกะ Avicennian ซึ่งแทนที่ตรรกะ Aristotelian เป็นระบบ domininant ของตรรกะในโลกอิสลาม และยังมีอิทธิพลสำคัญในการเขียนในยุคกลางตะวันตกเช่น Albertus Magnus . Avicenna wrote on การอ้างเหตุผลสมมุติ และใน แคลคูลัสเชิงประพจน์ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของประเพณีทั้งสองตรรกะ Stoic เขาได้พัฒนาทฤษฎีเดิมของ" ชั่วคราว modalized syllogistic" และทำให้การใช้ อุปนัย ตรรกะ เช่น วิธีการในการทำข้อตกลงความแตกต่างและรูปแบบด้วยกัน ซึ่งมีความสำคัญกับ วิธีการทางวิทยาศาสตร์ หนึ่งในความคิดของ Avicenna มีอิทธิพลสำคัญอย่างยิ่งใน logicians ตะวันตกเช่น William ของ Ockham Avicenna's word for a meaning or notion ( ma'na ), was translated by the scholastic logicians as the Latin intentio . คำ Avicenna สำหรับความหมายหรือความคิด (ma'na) ได้ถูกแปลโดย logicians การศึกษาที่เป็นภาษาละติน intentio In medieval logic and epistemology , this is a sign in the mind that naturally represents a thing. [ 44 ] This was crucial to the development of Ockham's conceptualism . ในตรรกะยุคกลางและ ญาณวิทยา นี้เป็นสัญญาณในใจที่เป็นธรรมชาติเป็นสิ่งที่ นี่คือความสำคัญอย่างยิ่งต่อการพัฒนาของ Ockham ของ conceptualism A universal term (eg "man") does not signify a thing existing in reality, but rather a sign in the mind ( intentio in intellectu ) which represents many things in reality. ระยะเวลาสากล ("คน"เช่น) ไม่ได้มีความหมายว่าสิ่งที่มีอยู่ในความเป็นจริง แต่เป็นสัญญาณในใจ (intentio ใน intellectu) ซึ่งเป็นหลายสิ่งหลายอย่างในความเป็นจริง Ockham cites Avicenna's commentary on Metaphysics V in support of this view. [ 45 ] ความเห็น Ockham cites Avicenna เกี่ยวกับ V อภิปรัชญาในการสนับสนุนของมุมมองนี้ Fakhr al-Din al-Razi (b. 1149) criticised Aristotle's " first figure " and formulated an early system of inductive logic, foreshadowing the system of inductive logic developed by John Stuart Mill (1806–1873). [ 46 ] Al-Razi's work was seen by later Islamic scholars as marking a new direction for Islamic logic, towards a Post-Avicennian logic . Fakhr al - Din al - Razi (ปี 1149) วิพากษ์วิจารณ์อริสโตเติล" รูปแรก "และกำหนดระบบการเริ่มต้นของการตรรกะอุปนัย, แววระบบของตรรกะอุปนัยพัฒนาโดย John Stuart Mill (1806-1873) Al - Razi ของ การทำงานที่เห็นโดยนักวิชาการอิสลามภายหลังเป็นเครื่องหมายทิศทางใหม่สำหรับตรรกะในศาสนาอิสลามต่อ ตรรกะโพสต์ Avicennian This was further elaborated by his student Afdaladdîn al-Khûnajî (d. 1249), who developed a form of logic revolving around the subject matter of conceptions and assents . นี้ถูก elaborated ต่อไปโดยนักเรียนของเขา Afdaladdîn al - Khûnajî ผู้ที่พัฒนารูปแบบของตรรกะหมุนรอบเรื่องของ แนวความคิด และ ยอมรับ In response to this tradition, Nasir al-Din al-Tusi (1201–1274) began a tradition of Neo-Avicennian logic which remained faithful to Avicenna's work and existed as an alternative to the more dominant Post-Avicennian school over the following centuries. [ 47 ] เพื่อตอบสนองต่อประเพณีนี้ Nasir al - Din al - Tusi (1201-1274) เริ่มประเพณีของตรรกะ Neo - Avicennian ซึ่งยังคงซื่อสัตย์ในการทำงาน Avicenna และมีอยู่เป็นทางเลือกในโรงเรียนโพสต์ที่โดดเด่นมากขึ้น Avicennian กว่าศตวรรษต่อไปนี้ Najm al-Dīn al-Qazwīnī al-Kātibī (d. 1276), a student of al-Tusi, [ 48 ] was the author of a work on logic, Al-Risāla al-Shamsiyya [ 49 ] ( Logic for Shams al-Dīn ), that was commonly used as the first major text on logic in Sunni madrasahs , right down until the 20th century and is "perhaps the most studied logic textbook of all time." [ 50 ] Al-Qazwīnī's logic was largely inspired by the Avicennia's formal system of temporal modal logic , but is more elaborate and departs from it in several ways. Najm al - Din al - al - Qazwīnī Kātibī (d 1276), นักเรียนของ al - Tusi, เป็นผู้เขียนของการทำงานในตรรกะ al - al - Risāla Shamsiyya (ลอจิกสำหรับ Shams al - DIN) ที่ถูกใช้เป็นข้อความที่สำคัญครั้งแรกในตรรกะใน สุหนี่ madrasahs ขวาลงจนถึงศตวรรษที่ 20 และเป็น"บางทีตำราเรียนตรรกะการศึกษามากที่สุดของเวลาทั้งหมด" ตรรกะ Al - Qazwīnī เป็นแรงบันดาลใจส่วนใหญ่โดย ระบบอย่างเป็นทางการของ Avicennia ชั่วคราว ตรรกะกิริยา แต่จะซับซ้อนมากขึ้นและออกจากในหลายวิธี While Avicenna considered ten modalities and examined six of them, Al-Qazwlni considers many more modalized propositions and examines thirteen which he considers 'customary to investigate'. [ 51 ] ในขณะที่การพิจารณา Avicenna สิบ modalities และตรวจสอบหกของพวกเขา Al - Qazwlni พิจารณาข้อเสนอ modalized อื่น ๆ อีกมากมายและตรวจสอบสิบสามซึ่งเขาจะพิจารณา'จารีตประเพณีในการตรวจสอบ Systematic refutations of Greek logic were written by the Illuminationist school , founded by Shahab al-Din Suhrawardi (1155–1191), who developed the idea of "decisive necessity", which refers to the reduction of all modalities ( necessity , possibility , contingency and impossibility ) to the single mode of necessity. [ 52 ] Ibn al-Nafis (1213–1288) wrote a book on Avicennian logic, which was a commentary of Avicenna's Al-Isharat ( The Signs ) and Al-Hidayah ( The Guidance ). [ 53 ] Another systematic refutation of Greek logic was written by Ibn Taymiyyah (1263–1328), the Ar-Radd 'ala al-Mantiqiyyin ( Refutation of Greek Logicians ), where he argued against the usefulness, though not the validity, of the syllogism [ 54 ] and in favour of inductive reasoning . [ 46 ] Ibn Taymiyyah also argued against the certainty of syllogistic arguments and in favour of analogy . refutations ระบบของตรรกะกรีกถูกเขียนโดย โรงเรียน Illuminationist ก่อตั้งโดย Shahab al - Din Suhrawardi (1155-1191) ที่พัฒนาความคิดของ"ความจำเป็นแตกหัก"ซึ่งหมายถึงการลดลงของรังสีทั้งหมด ( จำเป็น , ความเป็นไปได้ , ฉุกเฉิน และ เป็นไปไม่ได้ ) ไปที่โหมดเดียวที่มีความจำเป็น Ibn al - Nafis (1213-1288) เขียนหนังสือเกี่ยวกับตรรกะ Avicennian ซึ่งเป็นความเห็นของ Avicenna ของ Al - Isharat (สัญญาณ) และ Al - Hidayah (คำแนะนำ) อื่น ๆ ระบบการพิสูจน์ของตรรกะกรีกถูกเขียนโดย Taymiyyah (1263-1328), Ar - Radd'Ala al - Mantiqiyyin (พิสูจน์ของ logicians กรีก) ซึ่งเขาโต้เถียงกับที่มีประโยชน์ แต่ไม่ถูกต้องของ การอ้างเหตุผล และในความโปรดปรานของ การให้เหตุผลอุปนัย Taymiyyah ยังโต้เถียงกับความเชื่อมั่นของ อาร์กิวเมนต์ syllogistic และในความโปรดปรานของ ความคล้ายคลึง His argument is that concepts founded on induction are themselves not certain but only probable, and thus a syllogism based on such concepts is no more certain than an argument based on analogy. อาร์กิวเมนต์ของพระองค์คือแนวคิดการก่อตั้งขึ้นใน การชักนำให้เกิด เป็นตัวเองไม่น่าจะเป็นบางอย่าง แต่เพียงอย่างเดียวและทำให้การอ้างเหตุผลตามแนวคิดดังกล่าวเป็นไม่มากบางกว่าขึ้นอยู่กับอาร์กิวเมนต์คล้ายคลึง He further claimed that induction itself is founded on a process of analogy. เขายังอ้างว่าการเหนี่ยวนำตัวเองเป็นก่อตั้งขึ้นในกระบวนการของการเปรียบเทียบที่ His model of analogical reasoning was based on that of juridical arguments. [ 55 ] [ 56 ] This model of analogy has been used in the recent work of John F. Sowa . [ 56 ] รูปแบบการให้เหตุผลของพระองค์ในการเปรียบเทียบขึ้นอยู่กับที่ของการขัดแย้งนิติบุคคล รูปแบบของการเปรียบเทียบนี้ได้ถูกใช้ในงานล่าสุดของ จอห์นเอฟ Sowa The Sharh al-takmil fi'l-mantiq written by Muhammad ibn Fayd Allah ibn Muhammad Amin al-Sharwani in the 15th century is the last major Arabic work on logic that has been studied. [ 57 ] However, "thousands upon thousands of pages" on logic were written between the 14th and 19th centuries, though only a fraction of the texts written during this period have been studied by historians, hence little is known about the original work on Islamic logic produced during this later period. [ 47 ]Sharh al - takmil fi'l - mantiq เขียนโดยมูฮัมหมัด Fayd อัลลอมูฮัมหมัดอามีนอัล Sharwani ในศตวรรษที่ 15 เป็นครั้งสุดท้ายการทำงานของภาษาอาหรับที่สำคัญในตรรกะที่ได้รับการศึกษา อย่างไรก็ตามนับพัน"เมื่อหลายพันหน้า "ในตรรกะถูกเขียนขึ้นระหว่างศตวรรษที่ 14 และ 19 แต่เพียงเศษเสี้ยวของข้อความที่เขียนในช่วงเวลานี้ได้รับการศึกษาโดยนักประวัติศาสตร์จึงเป็นที่รู้จักกันเล็ก ๆ น้อย ๆ เกี่ยวกับการทำงานเดิมในตรรกะของศาสนาอิสลามที่ผลิตในช่วงระยะเวลานี้ภายหลัง ลอจิกในยุคกลางยุโรป
"Medieval logic" (also known as "Scholastic logic") generally means the form of Aristotelian logic developed in medieval Europe throughout the period c 1200–1600.For centuries after Stoic logic had been formulated, it was the dominant system of logic in the classical world. "ตรรกะในยุคกลาง"(เรียกว่า"ตรรกะ Scholastic") โดยทั่วไปหมายถึงรูปแบบของ ตรรกะ Aristotelian การพัฒนาใน ยุคกลางยุโรป ตลอดระยะเวลาของ c 1200-1600 สำหรับศตวรรษหลังจากตรรกะ Stoic ได้รับสูตรมันเป็นระบบที่โดดเด่นของ ตรรกะในโลกคลาสสิก When the study of logic resumed after the Dark Ages , the main source was the work of the Christian philosopher Boethius , who was familiar with some of Aristotle's logic, but almost none of the work of the Stoics. [ 59 ] Until the twelfth century the only works of Aristotle available in the West were the Categories , On Interpretation and Boethius' translation of the Isagoge of Porphyry (a commentary on the Categories). เมื่อการศึกษาของตรรกะกลับมาหลังจาก ยุคมืด ซึ่งเป็นแหล่งหลักคือการทำงานของนักปรัชญาคริสเตียน Boethius ที่ได้คุ้นเคยกับบางส่วนของตรรกะของอริสโตเติล แต่แทบไม่มีการทำงานของ Stoicจนกระทั่งศตวรรษที่สิบสอง ทำงานเฉพาะของอริสโตเติลที่มีอยู่ในเวสต์ถูกหมวดหมู่ที่ในการตีความและการแปล Boethius'ของ Isagoge ของ ธาตุโปร์ฟิริ (ความเห็นในหมวดหมู่ a) These works were known as the "Old Logic" ( Logica Vetus or Ars Vetus ). ผลงานเหล่านี้ถูกเรียกว่า"ลอจิกเก่า"(Logica Vetus หรือ Ars Vetus) An important work in this tradition was the Logica Ingredientibus of Peter Abelard (1079–1142). เป็นงานที่สำคัญในประเพณีนี้เป็น Logica Ingredientibus ของ ปีเตอร์ Abelard (1079-1142) His direct influence was small, but his influence through pupils such as John of Salisbury was great, and his method of applying rigorous logical analysis to theology shaped the way that theological criticism developed in the period that followed. อิทธิพลโดยตรงของพระองค์คือขนาดเล็ก แต่อิทธิพลของเขาผ่านนักเรียนเช่น จอห์นของ Salisbury ได้ดีและวิธีการของเขาใช้การวิเคราะห์เชิงตรรกะอย่างเข้มงวดเพื่อเทววิทยารูปวิธีการที่วิจารณ์เกี่ยวกับศาสนศาสตร์การพัฒนาในช่วงเวลานั้น
By the early thirteenth century the remaining works of Aristotle's Organon (including the Prior Analytics , Posterior Analytics and the Sophistical Refutations ) had been recovered in the West. Logical work until then was mostly paraphrasis or commentary on the work of Aristotle. The period from the middle of the thirteenth to the middle of the fourteenth century was one of significant developments in logic, particularly in three areas which were original, with little foundation in the Aristotelian tradition that came before. โดยศตวรรษที่สิบสามต้นการทำงานที่เหลือของอริสโตเติลออร์กานอน (รวมทั้ง ก่อน Analytics , Analytics หลัง และ Refutations Sophistical ) ได้รับการกู้คืนในตะวันตก ทำงานทางตรรกะจนแล้วเป็นส่วนใหญ่ paraphrasis หรือความเห็นในการทำงานของอริสโตเติล ช่วงเวลาจากกลางที่สิบสามเพื่อให้ตรงกลางของศตวรรษที่สิบสี่ที่เป็นหนึ่งในการพัฒนาที่สำคัญในตรรกะโดยเฉพาะอย่างยิ่งในสามพื้นที่ซึ่งเดิมมีรากฐานเล็ก ๆ น้อย ๆ ในประเพณี Aristotelian ที่มาก่อน These were: เหล่านี้ถูก : The theory of supposition . ทฤษฎีของ การคาดคะเน Supposition theory deals with the way that predicates (eg 'man' range over a domain of individuals (eg all men). In the proposition 'every man is an animal', does the term 'man' range over or 'supposit for' men existing in the present? Or does the range include past and future men? Can a term supposit for non-existing individuals? Some medievalists have argued that this idea was a precursor of modern first order logic. "The theory of supposition with the associated theories of copulatio (sign-capacity of adjectival terms), ampliatio (widening of referential domain), and distributio constitute one of the most original achievements of Western medieval logic". ข้อเสนอทฤษฎีการคาดคะเนกับวิธีการที่เพรดิเค (ช่วง'ชาย'มากกว่าเช่นโดเมนของบุคคล (เช่นมนุษย์ทุกคน) supposit ในเรื่อง'มนุษย์ทุกคนเป็นสัตว์ที่มีไม่ช่วงชายระยะมากกว่าหรือสำหรับ'ผู้ชายที่มีอยู่ในปัจจุบันหรือไม่ รวมถึงช่วงที่คนในอดีตและในอนาคตระยะยาว supposit สำหรับบุคคลที่ไม่ใช่ที่มีอยู่ได้หรือไม่? medievalists มีบางคนแย้งว่าความคิดนี้เป็นสารตั้งต้นของตรรกะการสั่งซื้อที่ทันสมัยเป็นครั้งแรก "ทฤษฎี จากการคาดคะเนกับทฤษฎีที่เกี่ยวข้องจาก copulatio (เข้าสู่ระบบความจุของคำคุณศัพท์) ampliatio (ขยายของโดเมน referential) และ distributio เป็นหนึ่งในความสำเร็จเดิมมากที่สุดของตรรกะในยุคกลางตะวันตก"
The theory of syncategoremata . ทฤษฎีของ syncategoremata Syncategoremata are terms which are necessary for logic, but which, unlike categorematic terms, do not signify on their own behalf, but 'co-signify' with other words. Syncategoremata เป็นคำซึ่งมีความจำเป็นสำหรับตรรกะ แต่ซึ่งแตกต่างจากข้อกำหนด categorematic ไม่ได้มีความหมายในนามของตัวเอง แต่'มีความหมายร่วมกับคำอื่น ๆ Examples of syncategoremata are 'and', 'not', 'every', 'if', and so on. ตัวอย่างของการ syncategoremata เป็น"และ","ไม่","ทุกคน","ถ้า" และดังนั้นบน
The theory of consequences . ทฤษฎีของ ผลกระทบ A consequence is a hypothetical, conditional proposition: two propositions joined by the terms 'if ... ผลที่ตามมาคือการสมมุติเรื่องเงื่อนไข : ข้อเสนอที่สองร่วมด้วยเงื่อนไข"ถ้า ... then'. แล้ว" For example 'if a man runs, then God exists' ( Si homo currit, Deus est ). A fully developed theory of consequences is given in Book III of William of Ockham 's work Summa Logicae . ตัวอย่างเช่น"ถ้าคนที่ทำงานแล้วมีพระเจ้า" (ศรีตุ๊ด currit, Deus EST) ทฤษฎีการพัฒนาอย่างเต็มที่ของผลกระทบที่จะได้รับในสมุด III ของ William ของ Ockham 's ทำงาน Summa Logicae There, Ockham distinguishes between 'material' and 'formal' consequences, which are roughly equivalent to the modern material implication and logical implication respectively. มี Ockham แตกต่างระหว่าง'วัสดุ'และผล'อย่างเป็นทางการ'ซึ่งเป็นประมาณเทียบเท่ากับการที่ทันสมัย ความหมายของวัสดุ และ ความหมายเชิงตรรกะ ตามลำดับ Similar accounts are given by Jean Buridan and Albert of Saxony . บัญชีที่คล้ายกันจะได้รับโดย Jean Buridan และ อัลเบิร์แซกโซนี
The last great works in this tradition are the Logic of John Poinsot (1589–1644, known as John of St Thomas ), the Metaphysical Disputations of Francisco Suarez (1548–1617), and the Logica Demonstrativa of Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733). งานได้ดีล่าสุดในประเพณีนี้เป็นลอจิกของจอห์น Poinsot (1589-1644 หรือที่เรียกว่า จอห์นของเซนต์โทมัส ) การ Disputations เลื่อนลอยของ ฟรานซิส Suarez (1548-1617) และ Logica Demonstrativa ของ Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733 )
ตรรกะแบบประเพณีตำราเรียน
"Traditional Logic" generally means the textbook tradition that begins with Antoine Arnauld and Pierre Nicole 's Logic, or the Art of Thinking , better known as the Port-Royal Logic . Published in 1662, it was the most influential work on logic in England until the nineteenth century. The book presents a loosely Cartesian doctrine (that the proposition is a combining of ideas rather than terms, for example) within a framework that is broadly derived from Aristotelian and medieval term logic . "ตรรกะแบบ"โดยทั่วไปหมายถึงประเพณีตำราเรียนที่เริ่มต้นด้วย Antoine Arnauld และ ปิแอร์นิโคล ลอจิก หรือศิลปะของการคิดที่รู้จักกันดีว่าเป็น ลอจิก Port - Roya เผยแพร่ใน 1662 มันคือการทำงานที่มีอิทธิพลมากที่สุดเกี่ยวกับ ตรรกะในอังกฤษจนกระทั่งศตวรรษที่สิบเก้า หนังสือเล่มนี้นำเสนอหลักคำสอน Cartesian อย่างหลวม ๆ (ที่เรื่องนี้เป็นที่รวมของความคิดมากกว่าแง่ตัวอย่างเช่น) ภายในกรอบที่ได้รับมาในวงกว้างจาก Aristotelian และยุคกลาง ระยะตรรกะ Between 1664 and 1700 there were eight editions, and the book had considerable influence after that. The account of propositions that Locke gives in the Essay is essentially that of Port-Royal: "Verbal propositions, which are words, [are] the signs of our ideas, put together or separated in affirmative or negative sentences. So that proposition consists in the putting together or separating these signs, according as the things which they stand for agree or disagree." ระหว่าง 1664 และ 1700 มีแปดรุ่นและหนังสือที่มีอิทธิพลมากหลังจากที่ บัญชีของ ประพจน์ ที่ ล็อค ให้ในเรียงความที่เป็นหลักของ Port - Royal :"ข้อเสนอทางวาจาซึ่งเป็นคำ [เป็น] สัญญาณของความคิดของเราใส่กันหรือแยกออกจากกันในประโยคบอกเล่าหรือลบ. ดังนั้นข้อเสนอที่ประกอบด้วยในการร่วมกันวางหรือการแยกสัญญาณเหล่านี้ตามเป็นสิ่งที่พวกเขายืนเห็นด้วยหรือไม่เห็นด้วย" (Locke, An Essay Concerning Human Understanding , IV. 5. 6) (Locke, เรียงความเกี่ยวกับความเข้าใจของมนุษย์, IV. 5. 6)
Another influential work was the Novum Organum by Francis Bacon , published in 1620. อีกงานที่มีอิทธิพลเป็น Novum Organum โดย Francis Bacon , 1620 ตีพิมพ์ใน The title translates as "new instrument". ชื่อเรื่องแปลว่า"เครื่องมือใหม่" This is a reference to Aristotle 's work Organon . นี่คือการอ้างอิงถึง อริสโตเติล ทำงาน ออร์กานอน In this work, Bacon rejected the syllogistic method of Aristotle in favour of an alternative procedure "which by slow and faithful toil gathers information from things and brings it into understanding". This method is known as inductive reasoning . ในงานนี้เบคอนปฏิเสธวิธีการของอริสโตเติล syllogistic ในความโปรดปรานของขั้นตอนทางเลือก"ซึ่งโดยความเหน็ดเหนื่อยช้าและซื่อสัตย์รวบรวมข้อมูลจากสิ่งต่างๆและนำมันเป็นความเข้าใจ" วิธีนี้เป็นวิธีที่รู้จักกันเป็น เหตุผลอุปนัย The inductive method starts from empirical observation and proceeds to lower axioms or propositions. วิธีการอุปนัยจะเริ่มต้นจากการสังเกตเชิงประจักษ์และดำเนินการเพื่อลดหรือสัจพจน์ข้อเสนอ From the lower axioms more general ones can be derived (by induction). จาก axioms ที่ต่ำกว่าคนทั่วไปมากขึ้นสามารถจะได้มา (โดยการเหนี่ยวนำ) In finding the cause of a phenomenal nature such as heat, one must list all of the situations where heat is found. ในการหาสาเหตุของปรากฏการณ์ธรรมชาติเช่นความร้อนหนึ่งต้องแสดงรายการทั้งหมดของสถานการณ์ที่จะพบความร้อน Then another list should be drawn up, listing situations that are similar to those of the first list except for the lack of heat. แล้วรายการอื่นควรจะวาดขึ้นในรายการของสถานการณ์ที่อาจจะคล้ายกับที่ของรายการแรกที่ยกเว้นสำหรับการขาดของความร้อน A third table lists situations where heat can vary. ตารางที่สามแสดงรายการสถานการณ์ที่ความร้อนสามารถแตกต่างกันไป The form nature , or cause, of heat must be that which is common to all instances in the first table, is lacking from all instances of the second table and varies by degree in instances of the third table. ธรรมชาติฟอร์มหรือทำให้เกิดความร้อนจะต้องมีสิ่งที่เป็นธรรมดาที่จะอินสแตนซ์ทั้งหมดในตารางแรกคือขาดจากอินสแตนซ์ทั้งหมดของตารางที่สองและแตกต่างกันโดยการศึกษาระดับปริญญาในกรณีของตารางที่สาม
Other works in the textbook tradition include Isaac Watts ' Logick: Or, the Right Use of Reason (1725), Richard Whately 's Logic (1826), and John Stuart Mill 's A System of Logic (1843). ผลงานอื่น ๆ ในประเพณีตำราเรียนรวมถึง ไอแซควัตต์ Logick : หรือใช้สิทธิของเหตุผล (1725) ริชาร์ด Whately 's Logic (1826), และ John Stuart Mill 's ระบบของลอจิก (1843) Although the latter was one of the last great works in the tradition, Mill's view that the foundations of logic lay in introspection influenced the view that logic is best understood as a branch of psychology, an approach to the subject which dominated the next fifty years of its development, especially in Germany. [แม้ว่าหลังจะเป็นหนึ่งในการทำงานที่ดีสุดท้ายในมุมมองของประเพณี Mill ของที่รากฐานของตรรกะวางในวิปัสสนา อิทธิพลมุมมองที่ตรรกะเป็นที่เข้าใจดีที่สุดเป็นสาขาของจิตวิทยา วิธีการกับเรื่องที่ dominated ถัดไป ห้าสิบปีของการพัฒนาโดยเฉพาะอย่างยิ่งในประเทศเยอรมนี ลอจิกในปรัชญาของ Hegel
Georg Wilhelm FriedrichGeorg Wilhelm Friedrich Hegel (การออกเสียงภาษาเยอรมัน : [ɡeɔʁkvɪlhɛlmfʁiːdʁɪçเขาɡəlː] ) (27 สิงหาคม 1770 -- 14 พฤศจิกายน 1831) เป็น ภาษาเยอรมัน ปราชญ์ หนึ่งของผู้สร้างของ อุดมการณ์เยอรมัน. เขา historicist และ อุดมการณ์ บัญชีของ ความเป็นจริง เป็นทั้งการปฏิวัติ ปรัชญายุโรป และเป็นสารตั้งต้นสำคัญในการ คอนติเนนปรัชญา และ ลัทธิมาร์ก
GWF Hegel indicated the importance of logic to his philosophical system when he condensed his extensive Science of Logic into a shorter work published in 1817 as the first volume of his Encyclopaedia of the Philosophical Sciences. The "Shorter" or "Encyclopaedia" Logic , as it is often known, lays out a series of transitions which leads from the most empty and abstract of categories – Hegel begins with "Pure Being" and "Pure Nothing" – to the " Absolute " – the category which contains and resolves all the categories which preceded it. มูลนิธิโลกสีเขียว Hegel ระบุความสำคัญของการตรรกะในระบบปรัชญาของเขาเมื่อเขาย่อกว้างขวางของ วิทยาศาสตร์ของตรรกะ ในการทำงานที่สั้นลงตีพิมพ์ในปี 1817 เป็นปริมาณแรกของสารานุกรมของวิทยาศาสตร์ปรัชญา "สั้น"หรือลอจิก"สารานุกรม"เป็นมัน เป็นที่รู้จักกันมักจะออกวางชุดของการเปลี่ยนแปลงซึ่งนำไปสู่มากที่สุดจากการที่ว่างเปล่าและนามธรรมประเภท Hegel เริ่มต้นด้วย"ความบริสุทธิ์"และ"ไม่มีอะไรเพียว" ไปที่" แอบโซลูท " ประเภทที่มีและแก้ไขหมวดหมู่ทั้งหมดที่มี นำหน้ามัน Despite the title, Hegel's Logic is not really a contribution to the science of valid inference. แม้จะมีชื่อของลอจิก Hegel ไม่ได้จริงๆผลงานวิทยาศาสตร์ของการอนุมานที่ถูกต้อง Rather than deriving conclusions about concepts through valid inference from premises, Hegel seeks to show that thinking about one concept compels thinking about another concept (one cannot, he argues, possess the concept of "Quality" without the concept of "Quantity"); and the compulsion here is not a matter of individual psychology, but arises almost organically from the content of the concepts themselves. มากกว่า deriving ข้อสรุปเกี่ยวกับแนวคิดที่ผ่านการอนุมานที่ถูกต้องจากสถานที่ Hegel พยายามที่จะแสดงความคิดที่เกี่ยวกับหนึ่งในแนวคิดผลักดันความคิดเกี่ยวกับแนวคิด (หนึ่งไม่สามารถเขา argues มีแนวคิดของ"คุณภาพ"ได้โดยไม่ต้องแนวคิดของ"จำนวน") ที่อื่นและ การบังคับใช้ที่นี่ไม่เป็นเรื่องของจิตวิทยาของแต่ละบุคคล แต่เกิดขึ้นเกือบอินทรีย์จากเนื้อหาของแนวความคิดตัวเอง His purpose is to show the rational structure of the "Absolute" – indeed of rationality itself. วัตถุประสงค์ของเขาคือการแสดงโครงสร้างที่มีเหตุผลของ"แอบโซลูท" แน่นอนมีเหตุผลของตัวเอง The method by which thought is driven from one concept to its contrary, and then to further concepts, is known as the Hegelian dialectic . วิธีการโดยการที่คิดว่าเป็นแรงผลักดันจากแนวคิดที่ตรงกันข้ามของมันแล้วแนวความคิดต่อไปเป็นที่รู้จักกัน Hegelian จาระไน Although Hegel's Logic has had little impact on mainstream logical studies, its influence can be seen in the work of the British Idealists – for example in FH Bradley's Principles of Logic (1883) – and in the economic, political and philosophical studies of Karl Marx and the various schools of Marxism . ถึงแม้ว่าลอจิก Hegel มีมีผลกระทบเล็ก ๆ น้อย ๆ เกี่ยวกับการศึกษาเชิงตรรกะหลักอิทธิพลที่มีสามารถเห็นได้ในการทำงานของ Idealists อังกฤษ ตัวอย่างเช่นในหลักการ FH แบรดลีย์ของลอจิก (1883) และในการศึกษาเศรษฐกิจการเมืองและปรัชญาของ Karl Marx และ โรงเรียนต่างๆของ ลัทธิมาร์ก ลอจิกและจิตวิทยา
Between the work of Mill and Frege stretched half a century during which logic was widely treated as a descriptive science, an empirical study of the structure of reasoning, and thus essentially as a branch of psychology . The German psychologist Wilhelm Wundt , for example, discussed deriving "the logical from the psychological laws of thought", emphasizing that "psychological thinking is always the more comprehensive form of thinking." This view was widespread among German philosophers of the period: Theodor Lipps described logic as "a specific discipline of psychology"; Christoph von Sigwart understood logical necessity as grounded in the individual's compulsion to think in a certain way; and Benno Erdmann argued that "logical laws only hold within the limits of our thinking" Such was the dominant view of logic in the years following Mill's work. This psychological approach to logic was rejected by Gottlob Frege . ระหว่างการทำงานของโรงสีและ Frege ยืดครึ่งศตวรรษในระหว่างที่มีตรรกะได้รับการรักษาอย่างกว้างขวางว่าเป็นวิทยาศาสตร์อธิบาย การศึกษาเชิงประจักษ์ของโครงสร้างของเหตุผลและทำให้เป็นหลักเป็นสาขาของ จิตวิทยา นักจิตวิทยาเยอรมัน Wilhelm Wundt สำหรับ ตัวอย่างเช่นที่กล่าวถึงทั้งปวง"ตรรกะจากกฎหมายทางจิตวิทยาของความคิด" เน้นว่า"ความคิดทางด้านจิตใจอยู่เสมอรูปแบบที่ครอบคลุมมากขึ้นของการคิด" มุมมองนี้เป็นที่แพร่หลายในหมู่นักปรัชญาเยอรมันของรอบระยะเวลา : Theodor Lipps อธิบายตรรกะว่าเป็น" วินัยเฉพาะของจิตวิทยา"; Christoph von Sigwart เข้าใจความจำเป็นตรรกะเป็นเหตุผลในการบังคับของแต่ละบุคคลที่จะคิดในทางหนึ่ง; และ Benno Erdmann แย้งว่า"กฎหมายเหตุผลเดียวค้างไว้ภายในขอบเขตของการคิดของเรา" ดังกล่าวเป็นมุมมองที่โดดเด่นของตรรกะในปีต่อไปนี้การทำงานของโรงงาน วิธีนี้ทางจิตวิทยาเพื่อตรรกะถูกปฏิเสธโดย Gottlob Frege It was also subjected to an extended and destructive critique by Edmund Husserl in the first volume of his Logical Investigations (1900), an assault which has been described as "overwhelming". Husserl argued forcefully that grounding logic in psychological observations implied that all logical truths remained unproven, and that skepticism and relativism were unavoidable consequences. มันเป็นเรื่องยังวิพากษ์การขยายและการทำลายล้างโดย Edmund Husserl ในปริมาณแรกของการตรวจสอบตรรกะของเขา (1900) การโจมตีซึ่งได้รับการอธิบายว่า"ครอบงำ" การโต้เถียงอย่างรุนแรง Husserl ว่าตรรกะดินในการสังเกตการณ์ทางจิตวิทยาส่อให้เห็นว่า ตรรกะความจริงทั้งหมดยังคงพิสูจน์และที่ สงสัย และ เชิง ผลกระทบที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ถูก
Such criticisms did not immediately extirpate so-called " psychologism ". การวิพากษ์วิจารณ์ดังกล่าวไม่ได้ทันทีถอนรากถอนโคนเรียกว่า" psychologism " For example, the American philosopher Josiah Royce , while acknowledging the force of Husserl's critique, remained "unable to doubt" that progress in psychology would be accompanied by progress in logic, and vice versa. ตัวอย่างเช่นนักปรัชญาอเมริกัน Josiah Royce ขณะที่ยอมรับการบังคับของการวิจารณ์ของ Husserl ยังคง"ไม่สามารถที่จะสงสัย"ความคืบหน้าในด้านจิตวิทยาที่จะมาพร้อมกับความคืบหน้าในตรรกะและในทางกลับกัน
Rise ของตรรกะที่ทันสมัย
ระยะเวลาระหว่างศตวรรษที่สิบสี่และจุดเริ่มต้นของศตวรรษที่สิบเก้าที่ได้รับส่วนใหญ่หนึ่งของการลดลงและการละเลยและโดยทั่วไปถือว่าเป็นหมันโดยประวัติศาสตร์ของตรรกะ การฟื้นตัวของตรรกะที่เกิดขึ้นในช่วงกลางศตวรรษที่สิบเก้า ที่จุดเริ่มต้นของการปฏิวัติในช่วงเวลาที่มีเรื่องของการพัฒนาเป็นวินัยอย่างเข้มงวดและเป็นนิสัยเจ้าระเบียบที่มีแบบอย่างเป็นวิธีการที่แน่นอนของหลักฐานที่ใช้ใน คณิตศาสตร์ The development of the modern so-called "symbolic" or "mathematical" logic during this period is the most significant in the 2,000-year history of logic, and is arguably one of the most important and remarkable events in human intellectual history. การพัฒนาที่ทันสมัยที่เรียกว่าตรรกะ"สัญลักษณ์"หรือ"คณิตศาสตร์"ในช่วงเวลานี้เป็นที่สำคัญที่สุดในประวัติศาสตร์ 2,000 ปีของตรรกะและเป็น arguably หนึ่งในกิจกรรมที่สำคัญที่สุดและโดดเด่นที่สุดในประวัติศาสตร์ทางปัญญาของมนุษย์
A number of features distinguish modern logic from the old Aristotelian or traditional logic, the most important of which are as follows: Modern logic is fundamentally a calculus whose rules of operation are determined only by the shape and not by the meaning of the symbols it employs, as in mathematics. จำนวนคุณสมบัติแตกต่างตรรกะที่ทันสมัยจากตรรกะ Aristotelian หรือแบบดั้งเดิมเก่าที่สำคัญที่สุดของซึ่งมีดังนี้ : โมเดิร์นตรรกะเป็นพื้นฐานแคลคูลัสมีกฎระเบียบของการดำเนินการจะถูกกำหนดโดยเฉพาะรูปร่างและไม่ได้โดยความหมายของ สัญลักษณ์มีการจ้างพนักงานเป็นในวิชาคณิตศาสตร์ Many logicians were impressed by the "success" of mathematics, in that there has been no prolonged dispute about any properly mathematical result. CS Peirce noted that even though a mistake in the evaluation of a definite integral by Laplace led to an error concerning the moon's orbit that persisted for nearly 50 years, the mistake, once spotted, was corrected without any serious dispute. logicians หลายคนประทับใจกับ"ความสำเร็จ"ของคณิตศาสตร์ในการที่มีการไม่มีข้อพิพาทเป็นเวลานานเกี่ยวกับผลทางคณิตศาสตร์ได้อย่างถูกต้องใด ๆ CS Peirce สังเกต ว่าแม้ว่าความผิดพลาดในการประเมินผลการหนึ่งที่แน่นอนโดยที่ Laplace นำไปสู่ข้อผิดพลาด เกี่ยวกับวงโคจรของดวงจันทร์ที่หายเกือบ 50 ปีความผิดพลาดที่พบในครั้งเดียวโดยไม่ได้รับการแก้ไขข้อพิพาทรุนแรงใด ๆ Peirce contrasted this with the disputation and uncertainty surrounding traditional logic, and especially reasoning in metaphysics . Peirce นี้แตกต่างกับการโต้เถียงและความไม่แน่นอนรอบตรรกะแบบดั้งเดิมและการให้เหตุผลโดยเฉพาะอย่างยิ่งใน อภิปรัชญา He argued that a truly "exact" logic would depend upon mathematical, ie, "diagrammatic" or "iconic" thought. เขาโต้เถียงที่แท้จริงตรรกะ"แน่นอน"จะขึ้นอยู่กับทางคณิตศาสตร์เช่น"แปลน"หรือ"สัญลักษณ์ของ"ความคิด "Those who follow such methods will ... escape all error except such as will be speedily corrected after it is once suspected"."บรรดาผู้ที่ปฏิบัติตามวิธีการดังกล่าวจะหลบหนี ... ข้อผิดพลาดทั้งหมดยกเว้นเช่นจะได้รับการแก้ไขอย่างรวดเร็วหลังจากที่มีการสงสัยว่าครั้ง" Modern logic is also "constructive" rather than "abstractive"; ie, rather than abstracting and formalising theorems derived from ordinary language (or from psychological intuitions about validity), it constructs theorems by formal methods, then looks for an interpretation in ordinary language. โมเดิร์นลอจิกยังเป็น"สร้างสรรค์"มากกว่า"abstractive" เช่นแทนที่จะสรุปอย่างเป็นทางการและทฤษฎีที่ได้มาจากภาษาสามัญ (หรือจาก intuitions ทางจิตวิทยาเกี่ยวกับความถูกต้อง) ก็สร้างทฤษฎีโดยวิธีการอย่างเป็นทางการแล้วดูสำหรับการตีความในภาษาสามัญ It is entirely symbolic, meaning that even the logical constants (which the medieval logicians called " syncategoremata ") and the categoric terms are expressed in symbols. มันเป็นสัญลักษณ์อย่างสิ้นเชิงซึ่งหมายความว่าแม้ค่าคงที่ตรรกะ (ที่ logicians สมัยกลางเรียกว่า" syncategoremata ") และเงื่อนไขการ categoric จะแสดงในสัญลักษณ์ Finally, modern logic strictly avoids psychological, epistemological and metaphysical questions. สุดท้ายตรรกะที่ทันสมัยอย่างเคร่งครัดหลีกเลี่ยงการจิตวิทยา คำถามญาณวิทยาและอภิปรัชญา
ระยะเวลาของตรรกะที่ทันสมัย
การพัฒนาของตรรกะที่ทันสมัยตกอยู่ในช่วงประมาณ 5 :
The embryonic period from Leibniz to 1847, when the notion of a logical calculus was discussed and developed, particularly by Leibniz, but no schools were formed, and isolated periodic attempts were abandoned or went unnoticed. 1.ระยะเวลาที่ตัวอ่อนจาก Leibniz 1847 เมื่อความคิดของแคลคูลัสเชิงตรรกะได้กล่าวถึงการพัฒนาและโดยเฉพาะอย่างยิ่งโดย Leibniz แต่โรงเรียนไม่ได้เกิดขึ้นและพยายามแยกตามระยะเวลาหรือถูกทอดทิ้งไม่มีใครสังเกตไป The algebraic period from Boole 's Analysis to Schröder 's Vorlesungen . 2.ระยะเวลาที่เกี่ยวกับพีชคณิตจาก Boole การวิเคราะห์เพื่อ Schröder 's Vorlesungen In this period there were more practitioners, and a greater continuity of development. ในช่วงนี้มีผู้ปฏิบัติงานมากขึ้นและต่อเนื่องมากขึ้นในการพัฒนาได้ 3.ระยะเวลาThe logicist period from the Begriffsschrift of Frege to the Principia Mathematica of Russell and Whitehead . logicist ตั้งแต่วันที่ Begriffsschrift ของ Frege ไป Principia Mathematica ของ รัสเซล และ Whitehead This was dominated by the "logicist school", whose aim was to incorporate the logic of all mathematical and scientific discourse in a single unified system, and which, taking as a fundamental principle that all mathematical truths are logical, did not accept any non-logical terminology. นี้ถูกครอบงำโดยที่"logicist โรงเรียน"ซึ่งมีจุดมุ่งหมายคือการรวมตรรกะของวาทกรรมทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ทั้งหมดที่อยู่ในระบบแบบครบวงจรเดียวและซึ่งการเป็นหลักการพื้นฐานที่ว่าทุกความจริงทางคณิตศาสตร์ตรรกะไม่ยอมรับใด ๆ ที่ไม่ใช่ ตรรกะคำศัพท์ The major logicists were Frege , Russell , and the early Wittgenstein . [ 86 ] It culminates with the Principia , an important work which includes a thorough examination and attempted solution of the antinomies which had been an obstacle to earlier progress. logicists ที่สำคัญสรุปได้ Frege , รัสเซล และต้น Wittgenstein มัน culminates กับ Principia เป็นงานที่สำคัญซึ่งรวมถึงตรวจสอบอย่างละเอียดและวิธีการแก้ปัญหาความพยายามของ antinomies ที่ได้รับอุปสรรคในการความคืบหน้าก่อนหน้านี้ The metamathematical period from 1910 to the 1930s, which saw the development of metalogic , in the finitist system of Hilbert , and the non-finitist system of Löwenheim and Skolem , the combination of logic and metalogic in the work of Gödel and Tarski . 4.โดยมีระยะเวลา metamathematical จาก 1910 ถึง 1930 ซึ่งได้เห็นการพัฒนาของ metalogic ใน finitist ระบบการทำงานของ Hilbert และระบบที่ไม่ใช่ของ finitist Löwenheim และ Skolem การรวมกันของตรรกะและ metalogic ในการทำงานของ Gödel และ Tarski Gödel's incompleteness theorem of 1931 was one of the greatest achievements in the history of logic. Gödel's ทฤษฎีบทไม่สมบูรณ์ ของ 1931 เป็นหนึ่งในความสำเร็จที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในประวัติศาสตร์ของตรรกะ Later in the 1930s Gödel developed the notion of set-theoretic constructibility . ต่อมาในช่วงทศวรรษที่ 1930 การพัฒนาความคิด Gödel ของ constructibility ตั้งค่าตามหลักวิชา The period after World War II , when mathematical logic branched into four inter-related but separate areas of research: model theory , proof theory , computability theory , and set theory , and its ideas and methods began to influence philosophy . 5.ระยะเวลาหลังจากสงครามโลกครั้งที่สองเมื่อ ตรรกะทางคณิตศาสตร์ แขนงออกเป็นสี่พื้นที่ระหว่างที่เกี่ยวข้อง แต่แยกของการวิจัย : ทฤษฎีแบบจำลอง , ทฤษฎีหลักฐาน , ทฤษฎีการคำนวณ และ การตั้งทฤษฎี และความคิดและวิธีการเริ่มที่จะมีอิทธิพลต่อ ปรัชญา
1.ระยะเวลาของตัวอ่อน
The idea that inference could be represented by a purely mechanical process is found as early as Raymond Lull , who proposed a (somewhat eccentric) method of drawing conclusions by a system of concentric rings. ความคิดที่ว่าอนุมานอาจจะแสดงโดยกระบวนการทางกลเพียงอย่างเดียวที่พบเป็นช่วงต้นของ เรย์มอนด์ Lull ผู้เสนอวิธีการที่ (ค่อนข้างพิสดาร) ของข้อสรุปการวาดภาพโดยระบบจากศูนย์กลางแหวน Three hundred years later, the English philosopher and logician Thomas Hobbes suggested that all logic and reasoning could be reduced to the mathematical operations of addition and subtraction. The same idea is found in the work of Leibniz , who had read both Lull and Hobbes, and who argued that logic can be represented through a combinatorial process or calculus. สามร้อยปีต่อมานักปรัชญาและนักตรรกวิทยาภาษาอังกฤษ โทมัสฮอบส์ ชี้ให้เห็นว่าตรรกะและเหตุผลทั้งหมดที่อาจจะลดลงเพื่อการดำเนินงานทางคณิตศาสตร์ของการเพิ่มและการลบ ความคิดเดียวกันที่พบในการทำงานของ Leibniz ผู้ที่ได้อ่านและ Lull Hobbes และผู้ที่ถกเถียงกันอยู่ว่าตรรกะสามารถแสดงผ่านกระบวนการ combinatorial หรือแคลคูลัส But, like Lull and Hobbes, he failed to develop a detailed or comprehensive system, and his work on this topic was not published until long after his death. แต่เช่น Lull และ Hobbes เขาล้มเหลวในการพัฒนาระบบรายละเอียดหรือครอบคลุมและการทำงานของเขาในหัวข้อนี้ไม่เผยแพร่จนกว่านานหลังจากการตายของเขา Leibniz says that ordinary languages are subject to "countless ambiguities" and are unsuited for a calculus, whose task is to expose mistakes in inference arising from the forms and structures of words; hence, he proposed to identify an alphabet of human thought comprising fundamental concepts which could be composed to express complex ideas, and create a calculus ratiocinator which would make reasoning "as tangible as those of the Mathematicians, so that we can find our error at a glance, and when there are disputes among persons, we can simply say: Let us calculate." Leibniz กล่าวว่าภาษาสามัญอาจมีการ"ambiguities อนันต์"และมี unsuited สำหรับแคลคูลัสซึ่งงานคือการเปิดเผยความผิดพลาดในการอนุมานที่เกิดจากการรูปแบบและโครงสร้างของคำ ด้วยเหตุนี้เขาเสนอให้ระบุ ตัวอักษรของความคิดของมนุษย์ ประกอบด้วยแนวคิดพื้นฐานซึ่งอาจจะประกอบด้วยการแสดงความคิดที่ซับซ้อน และสร้าง ratiocinator แคลคูลัสซึ่งจะทำให้การให้เหตุผล"เป็นที่มีตัวตนเป็นที่ของคณิตศาสตร์เพื่อให้เราสามารถหาข้อผิดพลาดของเราได้อย่างรวดเร็วและเมื่อมีข้อพิพาทระหว่าง คนเราก็สามารถพูดว่า : ขอให้เราคำนวณ"
Gergonne (1816) says that reasoning does not have to be about objects about which we have perfectly clear ideas, since algebraic operations can be carried out without our having any idea of the meaning of the symbols involved. Bolzano anticipated a fundamental idea of modern proof theory when he defined logical consequence or "deducibility" in terms of variables: a set of propositions n , o , p ... Gergonne (1816) กล่าวว่าเหตุผลที่ไม่ต้องมีการเกี่ยวกับวัตถุเกี่ยวกับการที่เรามีความคิดที่ชัดเจนได้อย่างสมบูรณ์แบบตั้งแต่การดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตสามารถดำเนินการได้โดยไม่ต้องมีความคิดของความหมายของสัญลักษณ์ที่เกี่ยวข้องใด ๆ ของเรา โบลซาโน ที่คาดว่าจะเป็นความคิดพื้นฐาน หลักฐานของทฤษฎีที่ทันสมัยเมื่อเขากำหนดผลเชิงตรรกะหรือ"deducibility"ในแง่ของตัวแปร : การตั้งค่าของ propositions N, O, P ... are deducible from propositions a , b , c ... มีข้อเสนอ deducible จาก A, B, C ... in respect of the variables i , j , ... ในส่วนของตัวแปร i, j, ... if any substitution for i , j that have the effect of making a , b , c ... ถ้าทดแทนใด ๆ สำหรับ i, j ที่มีผลของการทำให้ A, B, C ... true, simultaneously make the propositions n , o , p ... จริงพร้อมกันให้ข้อเสนอของ n, o, p ... also. This is now known as semantic validity . ยัง นี้เป็นที่รู้จักในขณะนี้เป็น ความถูกต้องความหมาย
2.ระยะเวลาเกี่ยวกับพีชคณิต
ตรรกะที่ทันสมัยเริ่มต้นด้วยการที่เรียกว่า"โรงเรียนเกี่ยวกับพีชคณิต"มีต้นกำเนิดมากับ Boole และรวมถึง Peirce , Jevons , Schröder และ เวนน์ วัตถุประสงค์ของพวกเขาคือการพัฒนาแคลคูลัสไปทำพิธีเหตุผลในพื้นที่ของการเรียนข้อเสนอและความน่าจะเป็นที่ The school begins with Boole's seminal work Mathematical Analysis of Logic which appeared in 1847, although De Morgan (1847) is its immediate precursor. The fundamental idea of Boole's system is that algebraic formulae can be used to express logical relations. โรงเรียนเริ่มต้นด้วยการวิเคราะห์เชื้อ Boole's การทำงานทางคณิตศาสตร์ของตรรกะที่ปรากฏใน 1847 แม้ว่า De มอร์แกน (1847) เป็นสารตั้งต้นของมันได้ทันที แนวคิดพื้นฐานของระบบ Boole คือว่าสูตรพีชคณิตสามารถนำมาใช้ในการแสดงความสัมพันธ์เชิงตรรกะ This idea occurred to Boole in his teenage years, working as an usher in a private school in Lincoln, Lincolnshire . For example, let x and y stand for classes let the symbol = signify that the classes have the same members, xy stand for the class containing all and only the members of x and y and so on. ความคิดนี้เกิดขึ้นกับ Boole ในปีวัยรุ่นของเขาทำงานเป็นนำในโรงเรียนเอกชนใน ลิงคอล์น ตัวอย่างเช่นให้ x และ y ยืนสำหรับการเรียนให้สัญลักษณ์ = มีความหมายว่าคลาสที่มีสมาชิกเดียวกัน xy ยืนสำหรับชั้นเรียนที่มีทั้งหมดและมีเพียงสมาชิกของ x และ y และอื่น ๆ Boole calls these elective symbols , ie symbols which select certain objects for consideration. An expression in which elective symbols are used is called an elective function , and an equation of which the members are elective functions, is an elective equation . The theory of elective functions and their "development" is essentially the modern idea of truth-functions and their expression in disjunctive normal form . Boole เรียกสัญลักษณ์เหล่านี้เลือกสัญลักษณ์ที่เลือกเช่นวัตถุบางอย่างเพื่อประกอบการพิจารณา ซึ่งการแสดงออกในสัญลักษณ์วิชาที่ใช้จะเรียกว่าฟังก์ชั่นการเลือกและสมการซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่มีฟังก์ชั่นวิชาเลือกเป็นวิชาเลือกสมการ ทฤษฎีของการทำงานและวิชา"การพัฒนา"ของพวกเขาจะเป็นหลักของความคิดที่ทันสมัยของ ฟังก์ชั่นความจริง และการแสดงออกของพวกเขาใน รูปแบบปกติ disjunctive
ระบบ Boole's ยอมรับของทั้งสองการตีความในระดับตรรกะและตรรกะเชิงประพจน์ Boole distinguished between "primary propositions" which are the subject of syllogistic theory, and "secondary propositions", which are the subject of propositional logic, and showed how under different "interpretations" the same algebraic system could represent both. Boole แตกต่างระหว่าง"ข้อเสนอหลัก"ซึ่งเป็นเรื่องของทฤษฎี syllogistic และ"ประพจน์รอง"ซึ่งเป็นเรื่องของตรรกะเชิงประพจน์และแสดงให้เห็นว่าภายใต้"ตีความ"ที่แตกต่างกันเกี่ยวกับพีชคณิตระบบเดียวกันอาจหมายถึงทั้ง An example of a primary proposition is "All inhabitants are either Europeans or Asiatics." ตัวอย่างของเรื่องหลักคือ"ผู้อยู่อาศัยทั้งหมดมีทั้งชาวยุโรปหรือ Asiatics." An example of a secondary proposition is "Either all inhabitants are Europeans or they are all Asiatics." These are easily distinguished in modern propositional calculus, where it is also possible to show that the first follows from the second, but it is a significant disadvantage that there is no way of representing this in the Boolean system. ตัวอย่างของเรื่องที่สองคือ"ทั้งชาวยุโรปทั้งหมดจะถูกหรือพวกเขาจะ Asiatics ทั้งหมด" เหล่านี้มีความโดดเด่นได้อย่างง่ายดายในแคลคูลัสเชิงประพจน์ที่ทันสมัยซึ่งมันก็ยังเป็นไปได้ที่จะแสดงให้เห็นว่าครั้งแรกที่ต่อจากที่สอง แต่ก็เป็น ข้อเสียอย่างมีนัยสำคัญว่ามีวิธีการแสดงนี้ในระบบบูลีนไม่มี
In his Symbolic Logic (1881), John Venn used diagrams of overlapping areas to express Boolean relations between classes or truth-conditions of propositions. ในตรรกะสัญลักษณ์ของเขา (1881) จอห์นเวนน์ ไดอะแกรมที่ใช้ในพื้นที่ที่ทับซ้อนกันเพื่อแสดงออกถึงความสัมพันธ์ระหว่างคลาสบูลีนหรือเงื่อนไขความจริงของ propositions In 1869 Jevons realised that Boole's methods could be mechanised, and constructed a "logical machine" which he showed to the Royal Society the following year. In 1885 Allan Marquand proposed an electrical version of the machine that is still extant ( picture at the Firestone Library ). ในปี 1869 Jevons ตระหนักว่าวิธีการ Boole's อาจจะมียานยนต์และสร้าง"เครื่องตรรกะ"ที่เขาแสดงให้เห็นไปยัง ราชสมาคม ในปีต่อไป ใน 1,885 Allan Marquand เสนอรุ่นไฟฟ้าของเครื่องที่ยังหลงเหลืออยู่ก็ยังคงที่ ( ภาพที่ ห้องสมุด Firestone )
ข้อบกพร่องในระบบ Boole's (เช่นการใช้ของ v ตัวอักษรของข้อเสนอ existential) ได้แก้ทั้งหมดโดยลูกศิษย์ของเขา Jevons published Pure Logic, or the Logic of Quality apart from Quantity in 1864, where he suggested a symbol to signify exclusive or , which allowed Boole's system to be greatly simplified. This was usefully exploited by Schröder when he set out theorems in parallel columns in his Vorlesungen (1890–1905). Jevons เผยแพร่เหตุผลบริสุทธิ์หรือลอจิกของคุณภาพนอกเหนือจากจำนวนในปี 1864 ที่ซึ่งเขาได้ชี้ให้เห็นสัญลักษณ์ที่มีความหมาย พิเศษหรือ ที่ได้รับอนุญาตระบบ Boole's จะง่ายมาก นี้ถูกใช้ประโยชน์โดย Schröder เมื่อเขาออกทฤษฎีใน คอลัมน์แบบคู่ขนานใน Vorlesungen ของเขา (1890-1905) Peirce (1880) showed how all the Boolean elective functions could be expressed by the use of a single primitive binary operation, " neither ... nor ... " Peirce (1880) แสดงให้เห็นว่าทุกฟังก์ชันบูลีนวิชาเลือกอาจจะแสดงออกโดยการใช้การดำเนินการไบนารีเดียวดั้งเดิม" ไม่ ... ไม่ ... " และเท่าเทียมกันดี" ไม่ทั้ง ... และ ... " แต่ต้องการจำนวนมากของนวัตกรรมของ Peirce นี้ยังคงไม่รู้จักหรือไม่มีใครสังเกตจนกว่า Sheffer ค้นพบมันในปี 1913 งานแรกของ Boole's ยังขาดความคิดของ รวมตรรกะ ที่มาใน Peirce (1867) Schröder (1877) และ Jevons (1890) และแนวคิดของการ รวม การแนะนำครั้งแรกโดย Gergonne (1816) การพูดชัดแจ้งและชัดเจนโดย Peirce (1870)
ความสำเร็จของระบบพีชคณิต Boole's ชี้ให้เห็นว่าตรรกะทั้งหมดจะต้องมีความสามารถในการแสดงเกี่ยวกับพีชคณิตและมีความพยายามที่จะแสดงตรรกะของความสัมพันธ์ในรูปแบบดังกล่าวซึ่งมีความทะเยอทะยานมากที่สุดคือ Vorlesungen อนุสาวรีย์ Schröder ของ über ตายพีชคณิต der Logik ("การบรรยายใน พีชคณิตของลอจิก" Vol III 1895) แม้ว่าความคิดเดิมที่คาดการณ์ไว้อีกครั้งโดย Peirce
3.ระยะเวลา Logicist
หลังจากที่ Boole, ความก้าวหน้าที่ดีต่อไปได้โดยนักคณิตศาสตร์ Gottlob Frege Frege's objective was the program of Logicism , ie demonstrating that arithmetic is identical with logic. [ 105 ] Frege went much further than any of his predecessors in his rigorous and formal approach to logic, and his calculus or Begriffsschrift is considered the greatest single achievement in the entire history of logic. [ 105 ] Frege also tried to show that the concept of number can be defined by purely logical means, so that (if he was right) logic includes arithmetic and all branches of mathematics that are reducible to arithmetic. วัตถุประสงค์ของ Frege เป็นโปรแกรมของ logicism คือแสดงให้เห็นถึงการคำนวณที่เหมือนกันกับตรรกะ Frege ไปมากไปกว่าที่ใด ๆ ของเขา predecessors ในวิธีการอย่างเข้มงวดและอย่างเป็นทางการของเขาเพื่อตรรกะและแคลคูลัสของเขาหรือ Begriffsschrift ถือว่าเป็นความสำเร็จที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในครั้งเดียว ประวัติศาสตร์ทั้งของตรรกะ Frege ยังพยายามที่จะแสดงให้เห็นว่าแนวคิดของ จำนวน สามารถกำหนดได้โดยวิธีการทางตรรกะอย่างหมดจดเพื่อให้ (ถ้าเขาขวา) ตรรกะรวมถึงการคำนวณและทุกสาขาของคณิตศาสตร์ที่มีการคำนวณซึ้งทำให้น้อยลง He was not the first writer to suggest this. เขาไม่ได้เป็นนักเขียนคนแรกที่แนะนำนี้ In his pioneering work Die Grundlagen der Arithmetik (The Foundations of Arithmetic), sections 15–17, he acknowledges the efforts of Leibniz, JS Mill as well as Jevons, citing the latter's claim that "algebra is a highly developed logic, and number but logical discrimination." [ 106 ] ในงานสำรวจของเขา Die Grundlagen der Arithmetik (รากฐานของคณิตศาสตร์) ส่วน 15-17 เขายอมรับความพยายามของ Leibniz, JS Mill เป็น Jevons อ้างการเรียกร้องหลังของว่า"พีชคณิตเป็นตรรกะการพัฒนาอย่างมากและจำนวน แต่ การเลือกปฏิบัติทางตรรกะ" Frege's first work, the Begriffsschrift ("concept script") is a rigorously axiomatised system of propositional logic, relying on just two connectives (negational and conditional), two rules of inference ( modus ponens and substitution), and six axioms. งานแรกของ Frege ที่ Begriffsschrift (สคริปต์"แนวคิด") เป็นระบบ axiomatised อย่างจริงจังของตรรกะประพจน์อาศัยเพียงสอง connectives (negational และเงื่อนไข) กฎที่สองของการอนุมาน (ponens mOdus และทดแทน) และหก axioms Frege referred to the "completeness" of this system, but was unable to prove this. [ 107 ] The most significant innovation, however, was his explanation of the quantifier in terms of mathematical functions. Frege อ้างถึง"ครบถ้วน"ของระบบนี้ แต่ก็ยังไม่สามารถพิสูจน์นี้ นวัตกรรมที่สำคัญที่สุด แต่คำอธิบายของเขาที่ถูก quantifier ในแง่ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ Traditional logic regards the sentence "Caesar is a man" as of fundamentally the same form as "all men are mortal." ตรรกะแบบว่าประโยค"ซีซาร์เป็นชาย"เป็นพื้นฐานของรูปแบบเดียวกันเป็น"มนุษย์ทุกคนเป็นมนุษย์" Sentences with a proper name subject were regarded as universal in character, interpretable as "every Caesar is a man". [ 108 ] Frege argued that the quantifier expression "all men" does not have the same logical or semantic form as "all men", and that the universal proposition "every A is B" is a complex proposition involving two functions , namely ' – is A' and ' – is B' such that whatever satisfies the first, also satisfies the second. ประโยคที่มีชื่อเรื่องที่เหมาะสมถูกถือว่าเป็นสากลในตัวอักษร interpretable เป็น"ซีซาร์ทุกคน" Frege แย้งว่าการแสดงออก quantifier ที่"มนุษย์ทุกคน"ไม่ได้มีรูปแบบตรรกะหรือความหมายเช่นเดียวกับ"มนุษย์ทุกคน" และที่เรื่องสากล"ทุก A เป็น B"เป็นเรื่องที่ซับซ้อนที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันที่สอง"คือ นั้นเป็น A'และ เป็น B'เช่นว่าสิ่งที่สร้างความพึงพอใจแรกที่ยังน่าพอใจที่สอง In modern notation, this would be expressed as ในเอกสารสมัยใหม่นี้จะแสดงเป็น (x) Ax -> Bx (x) Ax --> Bx
In English, "for all x, if Ax then Bx". ในภาษาอังกฤษ"สำหรับ x ทั้งหมดถ้า Ax Bx แล้ว Thus only singular propositions are of subject-predicate form, and they are irreducibly singular, ie not reducible to a general proposition. ดังนั้นข้อเสนอเอกพจน์เท่านั้นเป็นเรื่องของรูปแบบคำกริยา และพวกเขาจะเอกพจน์ irreducibly เช่นไม่ซึ้งทำให้น้อยลงไปเป็นเรื่องทั่วไป Universal and particular propositions, by contrast, are not of simple subject-predicate form at all. ประพจน์สากลและโดยเฉพาะโดยความคมชัดจะไม่ได้รับแบบฟอร์มการสรุปเรื่องง่ายที่ทุกคน If "all mammals" were the logical subject of the sentence "all mammals are land-dwellers", then to negate the whole sentence we would have to negate the predicate to give "all mammals are not land-dwellers". ถ้า"เลี้ยงลูกด้วยนมทั้งหมด"เป็นเรื่องตรรกะของประโยค"เลี้ยงลูกด้วยนมทั้งหมดจะถูกที่ดินชาว"จากนั้นไปแก้ประโยคเราจะต้องลบล้างคำกริยาที่ให้"เลี้ยงลูกด้วยนมทั้งหมดจะไม่ได้ที่ดินชาว" But this is not the case. [ 109 ] This functional analysis of ordinary-language sentences later had a great impact on philosophy and linguistics . แต่นี้เป็นกรณีที่ไม่ นี้การวิเคราะห์การทำงานของประโยคสามัญภาษาภายหลังได้ผลดีกับปรัชญาและ ภาษาศาสตร์ This means that in Frege's calculus, Boole's "primary" propositions can be represented in a different way from "secondary" propositions. ซึ่งหมายความว่าในแคลคูลัส Frege ของ Boole's ข้อเสนอ"หลัก"สามารถแสดงในลักษณะที่แตกต่างจากข้อเสนอ"รอง" "All inhabitants are either Europeans or Asiatics" is "ชาวทั้งหมดมีทั้งชาวยุโรปหรือ Asiatics"เป็น
(x) [I (x) --> (E (x) V (x))]
whereas "All the inhabitants are Europeans or all the inhabitants are Asiatics" is ขณะที่"ชาวทั้งหมดที่มีชาวยุโรปหรือทั้งหมดที่มีการ Asiatics"เป็น
(x) (I(x) -> E(x)) v (x) (I(x) -> A(x)) (X) (I (x) --> E (x)) V (x) (ฉัน (x) --> (x))
As Frege remarked in a critique of Boole's calculus: ในฐานะที่เป็น Frege remarked ในการวิจารณ์ของแคลคูลัส Boole's : "The real difference is that I avoid [the Boolean] division into two parts ... and give a homogeneous presentation of the lot. In Boole the two parts run alongside one another, so that one is like the mirror image of the other, but for that very reason stands in no organic relation to it' [ 110 ] "ความแตกต่างจริงคือว่าผมหลีกเลี่ยง [บูล] การแบ่งออกเป็นสองส่วน ... และให้นำเสนอเป็นเนื้อเดียวกันของมาก ใน Boole ทั้งสองส่วนทำงานร่วมกับคนอื่นเพื่อให้เป็นเหมือนภาพสะท้อนของอื่น ๆ ที่ แต่ด้วยเหตุผลมากที่ยืนอยู่ในความสัมพันธ์อินทรีย์ไม่มีมัน As well as providing a unified and comprehensive system of logic, Frege's calculus also resolved the ancient problem of multiple generality . รวมทั้งให้มีระบบแบบครบวงจรและครอบคลุมของตรรกะ, แคลคูลัสของ Frege แก้ไขยังโบราณ ทั่วๆไปปัญหาของหลาย . The ambiguity of "every girl kissed a boy" is difficult to express in traditional logic, but Frege's logic captures this through the different scope of the quantifiers. ความคลุมเครือของ"ผู้หญิงทุกจูบเด็ก"เป็นเรื่องยากที่จะแสดงในตรรกะแบบ แต่ตรรกะของ Frege จับนี้ผ่านที่แตกต่างกัน ขอบเขต ของการบ่งปริมาณ Thus ดังนั้น (x) [ girl(x) -> E(y) (boy(y) & kissed(x,y)) ] (x) [สาว (x) --> E - (Y) (เด็ก (Y) & จูบ (x, y))]
means that to every girl there corresponds some boy (any one will do) who the girl kissed. หมายความว่าผู้หญิงทุกคนมีสอดคล้องกับบางคน (คนใดคนหนึ่งจะทำ) ที่หญิงสาวที่จูบ But แต่
E(x) [ boy(x) & (y) (girl(y) -> kissed(y,x)) ] E (x) [Boy (x) & (y) (สาว (Y) --> จูบ (y, x))]
means that there is some particular boy whom every girl kissed. หมายความว่าจะมีบางคนโดยเฉพาะผู้หญิงทุกคนที่จูบ Without this device, the project of logicism would have been doubtful or impossible. โดยไม่ต้องอุปกรณ์นี้โครงการของ logicism จะได้รับหนี้สงสัยจะสูญหรือไม่ Using it, Frege provided a definition of the ancestral relation , of the many-to-one relation , and of mathematical induction . [ 111 ] ใช้มัน Frege ให้ความหมายของ ความสัมพันธ์บรรพบุรุษ ของ ความสัมพันธ์หลาย - to - one และการ อุปนัยทางคณิตศาสตร์ ช่วงนี้ทับซ้อนกับการทำงานของที่เรียกว่า"โรงเรียนทางคณิตศาสตร์"ซึ่งรวมถึงการ Dedekind , Pasch , Peano , Hilbert , Zermelo , ฮันติงตัน , Veblen และ Heyting Their objective was the axiomatisation of branches of mathematics like geometry, arithmetic, analysis and set theory. วัตถุประสงค์ของพวกเขาถูก axiomatisation ของสาขาของคณิตศาสตร์เช่นทฤษฎีเรขาคณิต, เลขคณิต, การวิเคราะห์และการตั้งค่า
The logicist project received a near-fatal setback with the discovery of a paradox in 1901 by Bertrand Russell . โครงการ logicist ที่ได้รับความล้มเหลวที่ใกล้เสียชีวิตกับการค้นพบของบุคคลที่ผิดธรรมดาในปี 1901 โดย Bertrand รัสเซล This proved that the Frege's naive set theory led to a contradiction. นี้พิสูจน์ให้เห็นว่า Frege ของ การตั้งทฤษฎีไร้เดียงสา นำไปสู่ความขัดแย้ง Frege's theory is that for any formal criterion, there is a set of all objects that meet the criterion. ทฤษฎี Frege คือว่าสำหรับเกณฑ์อย่างเป็นทางการใด ๆ มีเป็นชุดของวัตถุทั้งหมดที่ตรงตามเกณฑ์ที่ Russell showed that a set containing exactly the sets that are not members of themselves would contradict its own definition (if it is not a member of itself, it is a member of itself, and if it is a member of itself, it is not). This contradiction is now known as Russell's paradox .รัสเซลล์แสดงให้เห็นว่าตรงกับชุดที่มีชุดที่ไม่ได้เป็นสมาชิกของตัวเองที่จะขัดแย้งกับความหมายของตัวเอง (ถ้าไม่ได้เป็นสมาชิกของตัวเองก็เป็นสมาชิกของตัวเองและถ้าเป็นสมาชิกของตัวเองก็ไม่ได้) ความขัดแย้งนี้เป็นที่รู้จักในขณะนี้เป็น บุคคลที่ผิดธรรมดาของรัสเซล วิธีการหนึ่งที่สำคัญของการแก้ปัญหาความขัดแย้งนี้ถูกเสนอโดย เอินส์ท Zermelo . ทฤษฎี Zermelo ตั้ง เป็นครั้งแรกที่ ตั้งทฤษฎีซึ่งเป็นจริง It was developed into the now-canonical Zermelo–Fraenkel set theory (ZF). ได้รับการพัฒนาในขณะนี้ตามบัญญัติของวัด ตั้งทฤษฎี Zermelo - Fraenkel (ZF)
The monumental Principia Mathematica , a three-volume work on the foundations of mathematics , written by Russell and Alfred North Whitehead and published 1910–13 also included an attempt to resolve the paradox, by means of an elaborate system of types : a set of elements is of a different type than is each of its elements (set is not the element; one element is not the set) and one cannot speak of the " set of all sets ". อนุสาวรีย์ Principia Mathematica การทำงานที่สามไดรฟ์บน รากฐานของคณิตศาสตร์ ที่เขียนโดยรัสเซลและ อัลเฟรด North Whitehead และเผยแพร่ 1910-1913 ยังรวมถึงความพยายามที่จะแก้ปัญหาบุคคลที่ผิดธรรมดาโดยใช้วิธีการซับซ้อน ของระบบประเภท : ชุดขององค์ประกอบ เป็นประเภทที่แตกต่างกว่าเป็นของแต่ละองค์ประกอบ (ชุดไม่ได้เป็นองค์ประกอบหนึ่งองค์ประกอบที่ไม่ได้ถูกตั้ง) และอย่างใดอย่างหนึ่งไม่สามารถพูดภาษาของ" การตั้งค่าของชุดทั้งหมด " The Principia was an attempt to derive all mathematical truths from a well-defined set of axioms and inference rules in symbolic logic . Principia ได้พยายามให้ได้มาซึ่งความจริงทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดจากการตั้งค่าที่ดีที่กำหนดไว้ของสัจพจน์ และกฎการอนุมาน ใน ตรรกะสัญลักษณ์
4.ระยะเวลา metamathematical
ชื่อของ Gödel และ Tarski ครอง 1930s, ช่วงเวลาที่สำคัญในการพัฒนาของ metamathematics การศึกษาคณิตศาสตร์โดยใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์ในการผลิต metatheories หรือทฤษฎีทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับทฤษฎีทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ Early investigations into metamathematics had been driven by Hilbert's program . การตรวจสอบก่อนเข้าสู่ metamathematics ได้รับการขับเคลื่อนโดย โปรแกรม Hilbert's . which sought to resolve the ongoing crisis in the foundations of mathematics by grounding all of mathematics to a finite set of axioms, proving its consistency by "finitistic" means and providing a procedure which would decide the truth or falsity of any mathematical statement. ซึ่งพยายามที่จะแก้วิกฤตอย่างต่อเนื่องในรากฐานของคณิตศาสตร์โดยดินทั้งหมดของคณิตศาสตร์ที่จะตั้งค่า จำกัด ของสัจพจน์ที่พิสูจน์ความสอดคล้องกันโดย"finitistic"หมายถึงและให้ขั้นตอนที่จะตัดสินใจว่าจะจริงหรือความผิดพลาดของคำสั่งทางคณิตศาสตร์ใด ๆ Work on metamathematics culminated in the work of Gödel, who in 1929 showed that a given first-order sentence is deducible if and only if is logically valid – ie it is true in every structure for its language. ทำงานบน metamathematics culminated ในการทำงานของ Gödel ที่ในปี 1929 แสดงให้เห็นว่าได้รับ ประโยคลำดับแรก คือ deducible ถ้าและเพียงถ้าถูกต้องมีเหตุผล คือมันเป็นจริงในทุก โครงสร้าง ของภาษา This is known as Gödel's completeness theorem . นี้เรียกว่า ทฤษฎีบทครบถ้วน Gödel's A year later, he proved two important theorems, which showed Hibert's program to be unattainable in its original form. ปีต่อมาเขาพิสูจน์สอง theorems สำคัญซึ่งมีโปรแกรม Hibert เพื่อจะไม่สามารถบรรลุได้ในรูปแบบเดิม The first is that no consistent system of axioms whose theorems can be listed by an effective procedure such as an algorithm or computer program is capable of proving all facts about the natural numbers . แรกคือการที่ไม่มีระบบที่สอดคล้องกันของสัจพจน์ซึ่งมีทฤษฎีสามารถแสดงโดย วิธีการที่มีประสิทธิภาพ เช่น ขั้นตอนวิธีการ โปรแกรมหรือเครื่องคอมพิวเตอร์ที่มีความสามารถในการพิสูจน์ข้อเท็จจริงทั้งหมดเกี่ยวกับ หมายเลขธรรมชาติ For any such system, there will always be statements about the natural numbers that are true, but that are unprovable within the system. สำหรับระบบดังกล่าวมีจะเป็นงบเกี่ยวกับตัวเลขธรรมชาติที่เป็นความจริง แต่ที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ภายในระบบ The second is that if such a system is also capable of proving certain basic facts about the natural numbers, then the system cannot prove the consistency of the system itself. ที่สองก็คือว่าถ้าระบบดังกล่าวยังสามารถพิสูจน์ข้อเท็จจริงพื้นฐานบางอย่างเกี่ยวกับหมายเลขธรรมชาติแล้วระบบไม่สามารถพิสูจน์ความสอดคล้องของระบบเอง These two results are known as Gödel's incompleteness theorems , or simply Gödel's Theorem . เหล่านี้ทั้งสองมีผลที่รู้จักกันเป็น Gödel's theorems ไม่สมบูรณ์ หรือเพียง Gödel's ทฤษฎีบท Later in the decade, Gödel developed the concept of set-theoretic constructibility , as part of his proof that the axiom of choice and the continuum hypothesis are consistent with Zermelo-Fraenkel set theory . ต่อมาในทศวรรษที่ Gödel การพัฒนาแนวคิดของการตั้งค่าตามทฤษฎี constructibility เป็นส่วนหนึ่งของหลักฐานของเขาที่ สัจพจน์ของการเลือก และ สมมติฐาน continuum มีความสอดคล้องกับ ทฤษฎีการตั้ง Zermelo - Fraenkel
In proof theory , Gerhard Gentzen developed natural deduction and the sequent calculus . ใน ทฤษฎีหลักฐาน Gerhard Gentzen พัฒนา หักธรรมชาติ และ แคลคูลัสซึ่งต่อเนื่องกัน The former attempts to model logical reasoning as it 'naturally' occurs in practice and is most easily applied to intuitionistic logic, while the latter was devised to clarify the derivation of logical proofs in any formal system. จะพยายามอดีตกับรูปแบบการให้เหตุผลเชิงตรรกะเป็น'ธรรมชาติ'จะเกิดขึ้นในทางปฏิบัติและถูกนำไปใช้มากที่สุดได้อย่างง่ายดายเพื่อตรรกะ intuitionistic ในขณะที่หลังได้วางแผนเพื่อชี้แจงแหล่งที่มาของหลักฐานทางตรรกะในระบบอย่างเป็นทางการใด ๆ Since Gentzen's work, natural deduction and sequent calculi have been widely applied in the fields of proof theory, mathematical logic and computer science. ตั้งแต่ทำงาน Gentzen ของธรรมชาติและการหัก calculi ตามลำดับมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในเขตข้อมูลของทฤษฎีพิสูจน์ตรรกะทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ Gentzen also proved normalization and cut-elimination theorems for intuitionistic and classical logic which could be used to reduce logical proofs to a normal form. Gentzen ยังพิสูจน์ทฤษฎีการฟื้นฟูและตัดขจัดสำหรับตรรกะ intuitionistic และคลาสสิกซึ่งอาจจะใช้เพื่อลดการพิสูจน์ทางตรรกะให้เป็นรูปแบบปกติ
Alfred Tarski , a pupil of Łukasiewicz , is best known for his definition of truth and logical consequence , and the semantic concept of logical satisfaction . อัลเฟรด Tarski นักเรียนของ Łukasiewicz เป็นที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับความหมายของความจริงของเขาและ ผลเชิงตรรกะ และแนวคิดความหมายของ ความพึงพอใจของตรรกะ In 1933, he published (in Polish) The concept of truth in formalized languages , in which he proposed his semantic theory of truth : a sentence such as "snow is white" is true if and only if snow is white. ในปี ค.ศ. 1933 เขาตีพิมพ์ (ในโปแลนด์) แนวคิดของความจริงในภาษาที่เป็นทางการซึ่งเขาเสนอของเขา ทฤษฎีความหมายของความจริง : ประโยคเช่น"หิมะจะเป็นสีขาว"เป็นจริงถ้าและเพียงถ้าหิมะสีขาว Tarski's theory separated the metalanguage , which makes the statement about truth, from the object language , which contains the sentence whose truth is being asserted, and gave a correspondence (the T-schema ) between phrases in the object language and elements of an interpretation . ทฤษฎี Tarski ของแยกออกจากกัน metalanguage ซึ่งจะทำให้คำสั่งเกี่ยวกับความจริงที่มาจาก ภาษาวัตถุ ซึ่งประกอบด้วยประโยคที่มีความจริงจะถูกกล่าวหาและให้การติดต่อ ( คี T - ) ระหว่างวลีในภาษาของวัตถุและองค์ประกอบของ การตีความ Tarski's approach to the difficult idea of explaining truth has been enduringly influential in logic and philosophy, especially in the development of model theory . Tarski also produced important work on the methodology of deductive systems, and on fundamental principles such as completeness , decidability , consistency and definability . วิธีการ Tarski ที่จะเป็นความคิดที่ยากของการอธิบายความจริงได้รับอิทธิพลยืนนานในตรรกะและปรัชญาโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการพัฒนาของ ทฤษฎีแบบจำลอง Tarski ยังผลิตงานที่สำคัญในวิธีการของระบบ deductive และบนหลักการพื้นฐานเช่น ความสมบูรณ์ , decidability , ความสอดคล้องกัน และ definability According to Anita Feferman, Tarski "changed the face of logic in the twentieth century".ตามที่แอนนิต้า Feferman, Tarski"เปลี่ยนใบหน้าของตรรกะในศตวรรษที่ยี่สิบ" Alonzo Church and Alan Turing proposed formal models of computability, giving independent negative solutions to Hilbert's Entscheidungsproblem in 1936 and 1937, respectively. Alonzo คริสตจักร และ อลันทัวริง เสนอแบบจำลองอย่างเป็นทางการของการคำนวณให้การแก้ปัญหาเชิงลบเป็นอิสระเพื่อ Hilbert's Entscheidungsproblem ในปี 1936 และ 1937 ตามลำดับ The Entscheidungsproblem asked for a procedure that, given any formal mathematical statement, would algorithmically determine whether the statement is true. Entscheidungsproblem ถามสำหรับกระบวนงานที่ได้รับการใด ๆ คำสั่งทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการอัลกอริทึมจะตรวจสอบว่าคำสั่งนี้เป็นจริง Church and Turing proved there is no such procedure; Turing's paper introduced the halting problem as a key example of a mathematical problem without an algorithmic solution. คริสตจักรและทัวริงพิสูจน์แล้วว่าไม่มีขั้นตอนดังกล่าวกระดาษทัวริงนำ ปัญหาที่เป็นง่อย เป็นตัวอย่างสำคัญของปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้โดยไม่ต้องแก้ปัญหาอัลกอริทึม
Church's system for computation developed into the modern λ-calculus , while the Turing machine became a standard model for a general-purpose computing device. ระบบคริสตจักรสำหรับการคำนวณการพัฒนาเป็นที่ทันสมัย λ - แคลคูลัส ในขณะที่ เครื่องทัวริง ได้กลายเป็นรูปแบบมาตรฐานสำหรับอุปกรณ์คอมพิวเตอร์เพื่อใช้งานทั่วไป It was soon shown that many other proposed models of computation were equivalent in power to those proposed by Church and Turing. มันก็แสดงว่าเร็ว ๆ นี้หลายรุ่นที่นำเสนออื่น ๆ ของการคำนวณได้เทียบเท่าในอำนาจให้กับผู้ที่เสนอโดยคริสตจักรและทัวริง These results led to the Church–Turing thesis that any deterministic algorithm that can be carried out by a human can be carried out by a Turing machine. ผลลัพธ์เหล่านี้นำไปสู่การ ทำวิทยานิพนธ์คริสตจักร ทัวริง ที่ใด ๆ ที่กำหนด ขั้นตอนวิธีการ ที่สามารถดำเนินการออกโดยมนุษย์สามารถดำเนินการได้โดยเป็นเครื่องทัวริง Church proved additional undecidability results, showing that both Peano arithmetic and first-order logic are undecidable . คริสตจักรพิสูจน์ผล undecidability เพิ่มเติมแสดงให้เห็นว่าทั้งสอง Peano เลขคณิต และ ตรรกะลำดับแรก จะ undecidable Later work by Emil Post and Stephen Cole Kleene in the 1940s extended the scope of computability theory and introduced the concept of degrees of unsolvability . การทำงานในภายหลังโดย เอมิลโพสต์ และ สตีเฟ่นโคล Kleene ในปี 1940 การขยายขอบเขตของทฤษฎีการคำนวณและนำแนวคิดของ องศาของ unsolvability
The results of the first few decades of the twentieth century also had an impact upon analytic philosophy and philosophical logic , particularly from the 1950s onwards, in subjects such as modal logic , temporal logic , deontic logic , and relevance logic . ผลของการไม่กี่ทศวรรษแรกของศตวรรษที่ยี่สิบนอกจากนี้ยังมีผลกระทบต่อ ปรัชญาวิเคราะห์ และ ตรรกะทางปรัชญา โดยเฉพาะอย่างยิ่งจากปี 1950 เป็นต้นไปในสาขาวิชาเช่น ตรรกะกิริยา , ตรรกะชั่วคราว , deontic ตรรกะ และ เหตุผลที่เกี่ยวข้อง
Alfred Tarski
5.ระยะเวลาลอจิกหลังสงครามโลกครั้งที่ 2
After World War II, mathematical logic branched into four inter-related but separate areas of research: model theory , proof theory , computability theory , and set theory .หลังจากสงครามโลกครั้งที่สอง ตรรกะทางคณิตศาสตร์ แขนงออกเป็นสี่พื้นที่ระหว่างที่เกี่ยวข้อง แต่แยกของการวิจัย : ทฤษฎีแบบจำลอง , ทฤษฎีหลักฐาน , ทฤษฎีการคำนวณ และ การตั้งทฤษฎี In set theory, the method of forcing revolutionized the field by providing a robust method for constructing models and obtaining independence results. Paul Cohen introduced this method in 1962 to prove the independence of the continuum hypothesis and the axiom of choice from Zermelo–Fraenkel set theory . His technique, which was simplified and extended soon after its introduction, has since been applied to many other problems in all areas of mathematical logic. ในการตั้งทฤษฎี, วิธีการ บังคับให้ ปฏิวัติเขตข้อมูลโดยการให้เป็นวิธีการที่แข็งแกร่งสำหรับสร้างแบบจำลองและได้รับผลความเป็นอิสระ พอลโคเฮน แนะนำวิธีการนี้ในปี ค.ศ. 1962 เพื่อพิสูจน์ความเป็นอิสระของ สมมติฐาน continuum และ สัจพจน์ของการเลือก จาก การตั้งทฤษฎี Zermelo - Fraenkel เทคนิคซึ่งเป็นที่ง่ายและเร็ว ๆ นี้หลังจากขยายการแนะนำของพระองค์มีตั้งแต่นำไปใช้กับปัญหาอื่น ๆ ในทุกพื้นที่ของตรรกะทางคณิตศาสตร์
Computability theory had its roots in the work of Turing, Church, Kleene, and Post in the 1930s and 40s. ทฤษฎีการคำนวณได้มีรากของมันในการทำงานของทัวริง คริสตจักร Kleene และการโพสต์ใน 1930s และ 40s It developed into a study of abstract computability, which became known as recursion theory . The priority method , discovered independently by Albert Muchnik and Richard Friedberg in the 1950s, led to major advances in the understanding of the degrees of unsolvability and related structures. มันพัฒนาไปสู่การศึกษาของ computability นามธรรมซึ่งกลายเป็นที่รู้จักกันเป็น ทฤษฎี recursion . วิธีการจัดลำดับความสำคัญ ค้นพบโดยอิสระโดย อัลเบิร์ Muchnik และ ริชาร์ด Friedberg ในปี 1950 ที่นำไปสู่ความก้าวหน้าที่สำคัญในการทำความเข้าใจของ องศาของ unsolvability โครงสร้างและที่เกี่ยวข้อง Research into higher-order computability theory demonstrated its connections to set theory. การวิจัยในทฤษฎีการคำนวณขั้นสูงแสดงให้เห็นถึงการเชื่อมต่อในการตั้งทฤษฎี The fields of constructive analysis and computable analysis were developed to study the effective content of classical mathematical theorems; these in turn inspired the program of reverse mathematics . ในด้านของ การวิเคราะห์เชิงสร้างสรรค์ และ การวิเคราะห์คำนวณ ถูกพัฒนาขึ้นเพื่อการศึกษาเนื้อหาที่มีประสิทธิภาพของ theorems คณิตศาสตร์คลาสสิค; เหล่านี้เป็นแรงบันดาลใจในการเปิดโปรแกรมของ คณิตศาสตร์ย้อนกลับ A separate branch of computability theory, computational complexity theory , was also characterized in logical terms as a result of investigations into descriptive complexity . แยกเป็นสาขาของทฤษฎีการคำนวณ, ทฤษฎีซับซ้อนของการคำนวณ เป็นตัวยังอยู่ในแง่ตรรกะเป็นผลจากการสืบสวนเป็น ความสลับซับซ้อนเป็นคำอธิบายAbraham RobinsonModel theory applies the methods of mathematical logic to study models of particular mathematical theor
ทฤษฎีแบบจำลองจะใช้วิธีการของตรรกะทางคณิตศาสตร์กับรุ่นการศึกษาของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่ง Alfred Tarski published much pioneering work in the field, which is named after a series of papers he published under the title Contributions to the theory of models . อัลเฟรด Tarski เผยแพร่การทำงานมากเป็นผู้บุกเบิกในเขตข้อมูลซึ่งเป็นชื่อหลังจากชุดของเอกสารที่เขาเผยแพร่ภายใต้ชื่อการมีส่วนร่วมกับทฤษฎีของแบบจำลองใน In the 1960s, Abraham Robinson used model-theoretic techniques to develop calculus and analysis based on infinitesimals , a problem that first had been proposed by Leibniz. ในปี 1960 อิบรอฮีโรบินสัน ใช้เทคนิครูปแบบในการพัฒนาทฤษฎีแคลคูลัสและการวิเคราะห์บนพื้นฐานของ infinitesimals ปัญหาที่แรกได้รับการเสนอโดย Leibniz In proof theory, the relationship between classical mathematics and intuitionistic mathematics was clarified via tools such as the realizability method invented by Georg Kreisel and Gödel's Dialectica interpretation . ในทางทฤษฎีการพิสูจน์ความสัมพันธ์ระหว่างคณิตศาสตร์คลาสสิกและคณิตศาสตร์ intuitionistic ได้ชี้แจงผ่านทางเครื่องมือเช่น ความสามารถที่จะเข้าใจได้ วิธีการที่คิดค้นโดย จอร์จ Kreisel และ Gödel's ตีความ Dialectica This work inspired the contemporary area of proof mining . งานนี้ได้แรงบันดาลใจในพื้นที่ร่วมสมัยของ การทำเหมืองแร่หลักฐานThe Curry-Howard correspondence emerged as a deep analogy between logic and computation, including a correspondence between systems of natural deduction and typed lambda calculi used in computer science. จดหมายแกง Howard เกิดเป็นความคล้ายคลึงลึกระหว่างตรรกะและการคำนวณรวมทั้งการติดต่อระหว่างระบบการหักธรรมชาติและ พิมพ์แลมบ์ดานิ่ว ที่ใช้ในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ As a result, research into this class of formal systems began to address both logical and computational aspects; this area of research came to be known as modern type theory. เป็นผลให้การวิจัยในชั้นเรียนของระบบอย่างเป็นทางการนี้ได้เริ่มต้นไปยังที่อยู่ด้านตรรกะและการคำนวณทั้งสองพื้นที่ของการวิจัยนี้มาเป็นที่รู้จักเป็นทฤษฎีประเภทที่ทันสมัย Advances were also made in ordinal analysis and the study of independence results in arithmetic such as the Paris–Harrington theorem . ก้าวหน้าได้ทำยังอยู่ใน การวิเคราะห์ลำดับ และการศึกษาผลความเป็นอิสระในการคำนวณเช่น ทฤษฎีบท Paris - Harrington This was also a period, particularly in the 1950s and afterwards, when the ideas of mathematical logic begin to influence philosophical thinking. นี้ยังเป็นช่วงระยะเวลาหนึ่งโดยเฉพาะอย่างยิ่งในปี 1950 และหลังจากนั้นเมื่อความคิดของตรรกะทางคณิตศาสตร์เริ่มต้นที่มีอิทธิพลต่อความคิดทางปรัชญา For example, tense logic is a formalised system for representing, and reasoning about, propositions qualified in terms of time. ตัวอย่างเช่น ตรรกะตึง เป็นระบบอย่างเป็นทางการสำหรับการเป็นตัวแทน, และการให้เหตุผลเกี่ยวกับข้อเสนอที่มีคุณสมบัติเหมาะสมในแง่ของเวลา The philosopher Arthur Prior played a significant role in its development in the 1960s. Modal logics extend the scope of formal logic to include the elements of modality (for example, possibility and necessity ). นักปรัชญา ก่อนที่อาร์เธอร์ มีบทบาทสำคัญในการพัฒนาของ บริษัท ในปี 1960 logics กิริยาช่วย ขยายขอบเขตของตรรกะที่เป็นทางการที่จะรวมองค์ประกอบของ การเป็นกิริยาช่วย (ตัวอย่างเช่น ความเป็นไปได้ และ ความจำเป็น ) The ideas of Saul Kripke , particularly about possible worlds , and the formal system now called Kripke semantics have had a profound impact on analytic philosophy . [ 122 ] His best known and most influential work is Naming and Necessity (1980). [ 123 ] Deontic logics are closely related to modal logics: they attempt to capture the logical features of obligation , permission and related concepts. Ernst Mally , a pupil of Alexius Meinong , was the first to propose a formal deontic system in his Grundgesetze des Sollens , based on the syntax of Whitehead's and Russell's propositional calculus . ความคิดของ ซาอูล Kripke โดยเฉพาะอย่างยิ่งเกี่ยวกับ โลกที่เป็นไปได้ และระบบอย่างเป็นทางการเรียกว่าตอนนี้ ความหมาย Kripke ได้มีผลกระทบลึกซึ้งใน ปรัชญาวิเคราะห์ . รู้จักกันดีที่สุดและการทำงานที่มีอิทธิพลมากที่สุดของพระองค์คือ การตั้งชื่อและความจำเป็น (1980) Deontic logics จะเกี่ยวข้องกับการเป็นกิริยาช่วย logics : พวกเขาพยายามที่จะจับคุณสมบัติทางตรรกะของ ภาระผูกพัน , รับอนุญาต และแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับ เอินส์ท Mally นักเรียนของ Alexius Meinong เป็นคนแรกที่นำเสนอระบบ deontic อย่างเป็นทางการใน Grundgesetze des Sollens ของเขาบนพื้นฐานของ ไวยากรณ์ของ Whitehead และรัสเซลของ แคลคูลัสประพจน์ Another logical system founded after World War II was fuzzy logic by Iranian mathematician Lotfi Asker Zadeh in 1965. อีกระบบตรรกะก่อตั้งขึ้นหลังจากสงครามโลกครั้งที่สอง ตรรกะคลุมเครือ โดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิหร่าน Lotfi Asker Zadeh ในปี 1965
*เว็บบล๊อกตัวนี้เป็นส่วนหนึ่งของการเรียนการสอนในรายวิชาคณิตศาสตร์สำหรับคอมพิวเตอร์
คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภัฏสุรินทร์
หากผิดพลาดประการใดขออภัยมา ณ ที่นี้ด้วย.... คณะผู้จัดทำ
อาจารย์ วิภาวดี ไชยมูลสุข ที่ให้คำปรึกษาตลอดจนรายงานเรื่องนี้เสร็จสมบูรณ์
จำนงค์ ทองประเสริฐ.(2512).ตรรกศาสตร์.กรุงเทพ: สำนักพิมพ์ซีเอ็ดประยงค์
แสนบูราณ.(2552
).ตรรกศาสตร์เบื้องต้น.
กรุงเทพ:
สำนักพิมพ์ซีเอ็ด
****(ขออภัยท่านผู้เข้าชมบล๊อกเนื่องจากบล๊อกนี้ยังเขียนไม่เสร็จสมบูรณ์ครับ)****
